Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,4)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite, se existir, de
\lim_{(x,y)\to(0,4)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
Informações dadas:
  • A função é a fração \dfrac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}.
  • O ponto para o qual (x,y) se aproxima é (0,4).
    O objetivo é calcular o valor desse limite ou mostrar que ele não existe.

Passo 2

Primeiro vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador ao aproximar (x,y) de (0,4).
O numerador tende a
x^{2}+y^{2}\longrightarrow 0^{2}+4^{2}=16.
O denominador tende a
\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1 \longrightarrow \sqrt{0^{2}+4^{2}+1}-1=\sqrt{17}-1.
Observação importante: \sqrt{17}-1 é um número positivo (cerca de 4{,}123-1=3{,}123\ldots), ou seja, o denominador no ponto-limite não é zero.

Passo 3

Agora uma ideia conceitual útil e simples: se uma função é obtida por operações contínuas (somas, produtos, radical bem definido, quociente quando o denominador não é zero) então ela é contínua no ponto. Aqui:
  • x^{2}+y^{2} é um polinômio em x,y — polinômios são contínuos.
  • A função (x,y)\mapsto \sqrt{x^{2}+y^{2}+1} é contínua onde o argumento x^{2}+y^{2}+1 é positivo (aqui sempre é \ge 1).
  • A diferença \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1 é contínua e, no ponto (0,4), vale \sqrt{17}-1\neq 0.
  • Logo o quociente dado é contínuo em (0,4).
Consequência prática: o limite quando (x,y)\to(0,4) é simplesmente o valor da função em (0,4). Assim já podemos dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,4)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} = \frac{16}{\sqrt{17}-1}.

Passo 4

Para ficar mais didático e mostrar uma técnica algébrica que aparece frequentemente em provas (útil quando alguém não lembra a propriedade de continuidade), podemos simplificar a expressão multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Isso elimina a raiz no denominador:
Começamos com
\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}
multiplicando cima e baixo por \sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1:
\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}\cdot \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1} = \frac{(x^{2}+y^{2})\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1\big)} {( \sqrt{x^{2}+y^{2}+1})^{2}-1^{2}}.
No denominador a diferença de quadrados simplifica:
( \sqrt{x^{2}+y^{2}+1})^{2}-1= x^{2}+y^{2}+1-1=x^{2}+y^{2}.
Portanto a expressão simplifica (quando x^{2}+y^{2}\neq0, e por continuidade vale também no limite) para
\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1.
Agora é trivial tomar o limite:
\lim_{(x,y)\to(0,4)}\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}+1\big) = \sqrt{0^{2}+4^{2}+1}+1=\sqrt{17}+1.
Note que isso é coerente com a forma anterior \dfrac{16}{\sqrt{17}-1}: ao racionalizar \dfrac{16}{\sqrt{17}-1} por \sqrt{17}+1 obtém-se exatamente \sqrt{17}+1.

Passo 5

Resumo prático para a prova (o que vale memorizar):
  • Verifique se o denominador no ponto não é zero; se não for, muitas vezes a função é contínua aí e o limite é o valor direto.
  • Se houver uma raiz no denominador, a multiplicação pelo conjugado é uma ferramenta que simplifica e muitas vezes permite tomar o limite facilmente.
    Aplicando isso aqui obtemos o resultado final.

Resposta

\sqrt{17}+1

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