Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o limite, se existir, de
Informações dadas:
- A função é a fração
. - O ponto para o qual
se aproxima é .
O objetivo é calcular o valor desse limite ou mostrar que ele não existe.
Passo 2
Primeiro vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador ao aproximar
de
.
O numerador tende a
O denominador tende a
Observação importante:
é um número positivo (cerca de
), ou seja, o denominador no ponto-limite não é zero.
Passo 3
Agora uma ideia conceitual útil e simples: se uma função é obtida por operações contínuas (somas, produtos, radical bem definido, quociente quando o denominador não é zero) então ela é contínua no ponto. Aqui:
-
é um polinômio em — polinômios são contínuos. - A função
é contínua onde o argumento é positivo (aqui sempre é ). - A diferença
é contínua e, no ponto , vale . - Logo o quociente dado é contínuo em
.
Consequência prática: o limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Assim já podemos dizer que
Passo 4
Para ficar mais didático e mostrar uma técnica algébrica que aparece frequentemente em provas (útil quando alguém não lembra a propriedade de continuidade), podemos simplificar a expressão multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Isso elimina a raiz no denominador:
Começamos com
multiplicando cima e baixo por
:
No denominador a diferença de quadrados simplifica:
Portanto a expressão simplifica (quando
, e por continuidade vale também no limite) para
Agora é trivial tomar o limite:
Note que isso é coerente com a forma anterior
: ao racionalizar
por
obtém-se exatamente
.
Passo 5
Resumo prático para a prova (o que vale memorizar):
- Verifique se o denominador no ponto não é zero; se não for, muitas vezes a função é contínua aí e o limite é o valor direto.
- Se houver uma raiz no denominador, a multiplicação pelo conjugado é uma ferramenta que simplifica e muitas vezes permite tomar o limite facilmente.
Aplicando isso aqui obtemos o resultado final.