Todas as respostas devem ser justificadas;
Proibido uso de calculadora, celular ou qualquer objeto não autorizado previamente.
Escreva uma equação geral do plano determinado pelos pontos: A(3,1,2), B(1,2,-1) e C(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos
A(3,1,2), B(1,2,-1), C(1,1,-1)
O conteúdo aqui é Geometria Analítica Espacial: a gente vai precisar de dois vetores diretores do plano (por exemplo AB e AC), calcular o vetor normal ao plano usando produto vetorial, e então montar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro formamos os vetores
AB = B - A = (1-3,;2-1,;-1-2) = (-2,;1,;-3),
AC = C - A = (1-3,;1-1,;-1-2) = (-2,;0,;-3)

Passo 3

Agora calculamos o vetor normal n ao plano como
n = ABtimes AC = i & j & k -2 & 1 & -3 -2 & 0 & -3
Expandindo pelo método de determinante:
n = i,(1cdot(-3) - (-3)cdot0) - j,((-2)cdot(-3) - (-3)cdot(-2)) + k,((-2)cdot0 - 1cdot(-2)),
n = i(-3) - j(6 - 6) + k(2) = (-3,;0,;2)

Passo 4

A equação geral do plano com vetor normal n=(n1,n2,n3) e passando por A(x0,y0,z0) é
n1(x-x0) + n2(y-y0) + n3(z-z0) = 0
Substituindo n=(-3,0,2) e A(3,1,2):
-3(x-3) + 0,(y-1) + 2(z-2) = 0 Longrightarrow -3x +9 +2z -4 = 0 Longrightarrow -3x +2z +5 = 0

Passo 5

Só para conferir rapidamente que B e C estão nesse plano, substituímos em -3x+2z+5:
Para B(1,2,-1):;-3cdot1 +2cdot(-1)+5 = -3 -2 +5 = 0,
Para C(1,1,-1):;-3cdot1 +2cdot(-1)+5 = 0
Ambos satisfazem, está tudo certo.

Resposta

A equação geral do plano é
-3x +2z +5 = 0,
ou, equivalentemente,
3x -2z -5 = 0

Exercícios relacionados