4^a Questão: Encontre a área da região delimitada pelas seguintes curvas: ãáã
(b) y=4 x-x^2 e y=3 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região entre as curvas y=4x - x^2 (uma parábola) e y=3x (uma reta). O conteúdo aqui é “área entre duas curvas”, que resolve encontrando os pontos de interseção, determinando qual função está por cima no intervalo e integrando a diferença entre as funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões de y:
4x - x^2 = 3x
Reorganizando,
4x - x^2 - 3x = 0 Longrightarrow x(1 - x) = 0,
logo x=0 ou x=1. Substituindo em y=3x, temos os pontos (0,0) e (1,3).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima para 0<= x<=1. Tomando x=0,5,
yparábola = 4cdot0,5 - (0,5)^2 = 2 - 0,25 = 1,75, yreta = 3cdot0,5 = 1,5 á
Então a parábola 4x - x^2 fica acima da reta 3x nesse intervalo.

Passo 4

A área A é dada pelo integral da diferença entre as funções de x=0 até x=1:
A = integral0^1 l[(4x - x^2) - 3xr];dx = integral0^1 (x - x^2);dx

Passo 5

Calculando o integral:
integral0^1 (x - x^2);dx = [x^22 - x^33]0^1 = l(tfrac12 - tfrac13r) - 0 = 12 - 13 = 16

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 16.

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