2^a Questão: Calcu<= as seguintes integrais definidas: ã
(d) integral0^15 x(1+x)^3 / 4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^15 x(1+x)^3/4,dx
O conteúdo necessário é usar substituição para simplificar a expressão e, em seguida, aplicar a regra de potência para obter a primitiva.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + x, du = dx,
quando x=0 temos u=1 e quando x=15 temos u=16. Além disso x = u-1. Logo
integral0^15 x(1+x)^3/4,dx = integralu=1^u=16 u-1u^3/4,du = integral1^16 l(u^1 - tfrac34 - u^-tfrac34r),du = integral1^16 l(u^1/4 - u^-3/4r),du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência integral u^n,du = u^n+1n+1 (para n neq -1):
integral u^1/4,du = u^5/45/4 = 45,u^5/4, integral u^-3/4,du = u^1/41/4 = 4,u^1/4
Logo uma primitiva é
F(u) = 45,u^5/4 - 4,u^1/4

Passo 4

Avaliaremos F(u) entre u=1 e u=16:
Para u=16 temos
u^1/4 = 16^1/4 = 2, u^5/4 = 16 cdot 16^1/4 = 16 cdot 2 = 32,
então
F(16) = 45cdot 32 ;-; 4cdot 2 = 1285 - 8 = 128 - 405 = 885
Para u=1 temos
u^1/4 = 1, u^5/4 = 1,
portanto
F(1) = 45cdot 1 ;-; 4cdot 1 = 45 - 4 = -165
A integral definida é
F(16) - F(1) = 885 - l(-165r) = 88 + 165 = 1045

Resposta

integral0^15 x(1+x)^3/4,dx = 1045

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