3^a Questão: Calcule a derivada das seguintes funções:
(e) F(x)=integralx^e^x raiz1+t^2 d t

Passo 1

O enunciado define
F(x)=integralx^e^xraiz1+t^2;dt
e pede F'(x). O conteúdo aqui é a derivada de uma integral com limites dependentes de x, que combina o Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia (regra de Leibniz).

Passo 2

Lembrando a regra de Leibniz: se
G(x)=integrala(x)^b(x)f(t);dt,
então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Aqui temos
a(x)=x, b(x)=e^x, f(t)=raiz1+t^2
Portanto
a'(x)=1, b'(x)=ddxe^x=e^x

Passo 4

Aplicando a regra de Leibniz:
F'(x) =raiz1+l(b(x)r)^2;b'(x);-;raiz1+l(a(x)r)^2;a'(x)
Substituindo a(x), b(x) e suas derivadas, resulta
F'(x) =raiz1+(e^x)^2;e^x;-;raiz1+x^2;cdot1

Passo 5

Observando que (e^x)^2=e^2x, podemos escrever de forma mais compacta:
F'(x)=e^x,raiz1+e^2x;-;raiz1+x^2

Resposta

F'(x)=e^x,raiz1+e^2x-raiz1+x^2

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