6-Se AB=lambda BC, prove que os vetores O A, O B e O C são LD para qualquer ponto O.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um ponto O e três pontos A, B, C tais que AB=lambda,BC. Precisamos provar que os vetores de posição OA,OB,OC são linearmente dependentes. O conteúdo principal aqui é Dependência Linear de vetores.

Passo 2

Para usar as definições de Dependência Linear, vamos representar os vetores de posição assim: seja a=OA, b=OB e c=OC. Agora podemos expressar AB e BC em função de a,b,c.

Passo 3

Pelas definições de vetor entre dois pontos, temos
AB=b-a,
BC=c-b
Como foi dado que AB=lambda,BC, substituímos e obtemos
b-a=lambda(c-b)

Passo 4

Agora basta reorganizar essa igualdade para ver a combinação linear nula. Expandindo o lado direito e trazendo tudo para um lado, temos
b-a=lambdac-lambdab
-a+b+lambdab-lambdac=0
-a+(1+lambda)b-lambdac=0

Passo 5

A última expressão é uma combinação linear dos vetores a,b,c igual a zero, com coeficientes -1,(1+lambda),-lambda que não são todos zero. Isso prova que OA,OB,OC são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores satisfazem
-OA+(1+lambda)OB-lambdaOC=0
com coeficientes não todos nulos, logo são linearmente dependentes.

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