Seja E=C^1(R) o espaço da funções deriváveis de R a valores em R. Seja
F=f in E ; f(0)=f^prime(0)=0,
e
G=f in E ; exists(lambda, mu) in R^2, forall x in R, f(x)=lambda x+mu
a. Verificar que F e G são subespaços vetoriais de E .
b. Achar F cap G.
c. Para u in E, achar duas funções f in F e g in G tais que u=f+g.
d. Provar que F e G são complementares em E.

Passo 1

O espaço em questão é E=C^1( R), ou seja, todas as funções de R em R continuamente diferenciáveis. Definimos
F={f\in E; f(0)=f’(0)=0}
G={f\in E; f(x)=\lambda x+\mu, ;\lambda,\mu\in\mathbb R}
O conteúdo será espaços vetoriais, subespaços, interseção e soma direta.

Passo 2

Primeiro, para mostrar que F é subespaço de E, verificamos:
– A função zero 0(x)=0 pertence a F pois 0(0)=0 e 0'(0)=0.
– Se f,gin F, então (f+g)(0)=f(0)+g(0)=0 e
(f+g)'(0)=f'(0)+g'(0)=0, logo f+gin F.
– Para escalar alphain R, (alpha f)(0)=alpha f(0)=0 e
(alpha f)'(0)=alpha f'(0)=0, então alpha fin F.
Assim F é subespaço. De modo análogo, G é o conjunto de funções afins: a soma de duas afins é afim, o escalar de uma afim é afim, e a função zero (com lambda=0,mu=0) está em G.

Passo 3

Para achar Fcap G, seja hin Fcap G. Então h(x)=lambda x+mu e
h(0)=mu=0,
h'(x)=lambda h'(0)=lambda=0. Logo h(x)=0 para todo x. Concluímos
Fcap G=0

Passo 4

Dado uin E, definimos a parte afim que “captura” valor e derivada em zero:
g(x)=u'(0)x+u(0),
e a parte que zera em zero:
f(x)=u(x)-g(x)
Então claramente u=f+g. Verificamos:
gin G por ser afim.
f(0)=u(0)-g(0)=u(0)-u(0)=0 e
f'(0)=u'(0)-g'(0)=u'(0)-u'(0)=0, logo fin F.

Passo 5

Como todo uin E se escreve unicamente como soma u=f+g com fin F, gin G e Fcap G=0, segue que
E=Foplus G,\nou seja, F e G são subespaços complementares em E.

Resposta

a) F e G são subespaços de E;
b) Fcap G=0;
c) para uin E, basta tomar
g(x)=u'(0)x+u(0) e f(x)=u(x)-g(x),
com fin F, gin G e u=f+g;
d) portanto F e G são complementares e E=Foplus G.

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