Seja
o espaço da funções deriváveis de
a valores em
. Seja
e
a. Verificar que
e
são subespaços vetoriais de E .
b. Achar
.
c. Para
, achar duas funções
e
tais que
.
d. Provar que
e
são complementares em
.
b. Achar
c. Para
d. Provar que
Passo 1
O espaço em questão é
, ou seja, todas as funções de
em
continuamente diferenciáveis. Definimos
F={f\in E; f(0)=f’(0)=0}
G={f\in E; f(x)=\lambda x+\mu, ;\lambda,\mu\in\mathbb R}
O conteúdo será espaços vetoriais, subespaços, interseção e soma direta.
F={f\in E; f(0)=f’(0)=0}
G={f\in E; f(x)=\lambda x+\mu, ;\lambda,\mu\in\mathbb R}
O conteúdo será espaços vetoriais, subespaços, interseção e soma direta.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que
é subespaço de
, verificamos:
– A função zero pertence a
pois
e
.
– Se , então
e
, logo
.
– Para escalar ,
e
, então
.
Assim é subespaço. De modo análogo,
é o conjunto de funções afins: a soma de duas afins é afim, o escalar de uma afim é afim, e a função zero (com
) está em
.
– A função zero
– Se
– Para escalar
Assim
Passo 3
Para achar
, seja
. Então
e
,
dá
. Logo
para todo
. Concluímos
Passo 4
Dado
, definimos a parte afim que “captura” valor e derivada em zero:
e a parte que zera em zero:
Então claramente
. Verificamos:
– por ser afim.
– e
, logo
.
–
–
Passo 5
Como todo
se escreve unicamente como soma
com
,
e
, segue que
Resposta
a)
e
são subespaços de
;
b)
c) para , basta tomar
e
,
com ,
e
;
d) portanto e
são complementares e
.
b)
c) para
com
d) portanto