1. Abaixo apresenta-se os valores que uma função de período 2 pi assume em um período. Esboce o gráfico dessa função para diversos períodos e encontre sua série de Fourier.
f(t)=|t| ;-pi <= t <= pi

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2pi que, num período, vale
f(t)=|t|, -pi<= t<=pi
Precisamos (i) esboçar o gráfico de f estendido a todos os períodos e (ii) encontrar a série de Fourier de f. Vamos usar que f é função par, de modo que na expansão só aparecerão termos constantes e cossenos.

Passo 2

Para esboçar o gráfico note que em -pi<= t<=pi temos uma letra “V” com vértice em (0,0) e pontas em (-pi,pi) e (pi,pi). A extensão periódica de período 2pi repete esse V deslocado de 2pi em cada direção.

Passo 3

A série de Fourier para uma função de período 2pi é
f(t)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nt)+bnsin(nt)r)
Como f é par, todos os bn são zero e
a0=1piintegral-pi^pif(t),dt, an=1piintegral-pi^pif(t)cos(nt),dt

Passo 4

Calculamos a0. Como f(t)=|t| e é par,
a0=1piintegral-pi^pi|t|,dt =2piintegral0^pit,dt =2picdotpi^22 =pi

Passo 5

Para an, ainda usando paridade,
an=2piintegral0^pitcos(nt),dt
Fazendo integração por partes com u=t, dv=cos(nt),dt
integral0^pitcos(nt),dt =tnsin(nt)|0^pi -integral0^pi1nsin(nt),dt =1n^2l[(-1)^n-1r]
Logo
an=2picdot(-1)^n-1n^2 = 0,&n par, -dfrac4pi n^2,&n ímpar í

Passo 6

Substituindo em
f(t)=a02+sumn=1^infty ancos(nt)
obtém-se
f(t)=pi2 +sumk=1^inftyl(-4pi(2k-1)^2r)cosl((2k-1)tr)
Em outras palavras,
f(t)=pi2 -4pisumk=1^inftycosl((2k-1)tr)(2k-1)^2

Resposta

boxed f(t)=pi2 -4pisumk=1^inftycosl((2k-1)tr)(2k-1)^2

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