Considere o sólido S : A base de S é uma região elíptica limitada pela curva 9 x^2+4 y^2=36. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles com um ângulo theta=2 pi3, com o lado oposto de theta na base.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido S cuja base está no plano xy e é a região elíptica
9x^2 + 4y^2 <= 36
As seções transversais em planos perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles com ângulo no vértice theta = tfrac2pi3, sendo o lado oposto a esse ângulo a base do triângulo. Para calcular o volume, vamos:
  1. Expressar a semi-altura da elipse em função de x.
  2. Determinar o comprimento da base b(x) de cada triângulo.
  3. Encontrar a área A(x) de cada seção.
  4. Integrar A(x) ao longo de x.

Passo 2

Da elipse temos
4y^2 = 36 - 9x^2 Longrightarrow y = pm raiz36 - 9x^24 = pm raiz36 - 9x^22
Logo, a semi-altura (em y) vale tfracraiz36 - 9x^22.

Passo 3

O comprimento da base do triângulo, que vai de y=-tfracraiz36 - 9x^22 até y=+tfracraiz36 - 9x^22, é
b(x) = 2cdot raiz36 - 9x^22 = raiz36 - 9x^2

Passo 4

Para um triângulo isósceles de base b e ângulo no vértice theta, a área é
A = b^24,cot!l(tfractheta2r)
Aqui theta/2 = tfracpi3 e cot(pi/3)=tfrac1raiz3. Assim,
A(x) = [b(x)]^24,1raiz3 = 36 - 9x^24raiz3 = 9(4 - x^2)4raiz3

Passo 5

O volume é a integral de A(x) de x=-2 até x=2 (extremos da elipse em x):
V = integral-2^2 A(x),dx = integral-2^2 9(4 - x^2)4raiz3,dx = 94raiz3integral-2^2(4 - x^2),dx
Calculando
integral-2^2(4 - x^2),dx =l[4x - tfracx^33r]-2^2 =(8 - tfrac83)-(-8 + tfrac83) =tfrac163-l(-tfrac163r) =tfrac323
Portanto
V = 94raiz3cdot 323 = 9cdot 3212raiz3 = 24raiz3 = 8raiz3

Resposta

O volume do sólido é V = 8raiz3.

Exercícios relacionados