Considere o sólido
: A base de
é uma região elíptica limitada pela curva
. As seções transversais perpendiculares ao eixo
são triângulos isósceles com um ângulo
, com o lado oposto de
na base.
Passo 1
O enunciado descreve um sólido
cuja base está no plano
e é a região elíptica
As seções transversais em planos perpendiculares ao eixo
são triângulos isósceles com ângulo no vértice
, sendo o lado oposto a esse ângulo a base do triângulo. Para calcular o volume, vamos:
- Expressar a semi-altura da elipse em função de
. - Determinar o comprimento da base
de cada triângulo. - Encontrar a área
de cada seção. - Integrar
ao longo de .
Passo 2
Da elipse temos
Logo, a semi-altura (em
) vale
.
Passo 3
O comprimento da base do triângulo, que vai de
até
, é
Passo 4
Para um triângulo isósceles de base
e ângulo no vértice
, a área é
Aqui
e
. Assim,
Passo 5
O volume é a integral de
de
até
(extremos da elipse em
):
Calculando
Portanto
Resposta
O volume do sólido é
.