Use a Definição 7.1.1 para determinar

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
usando a definição
Como a função é piecewise, vamos dividir a integral em duas partes: de e de a .

Passo 2

Escrevemos
Lf(t) =integral0^1t,e^-st,dt+integral1^infty1cdot e^-st,dt

Passo 3

Para integral0^1t,e^-st,dt usamos integração por partes. Seja
u=t, dv=e^-stdt Longrightarrow du=dt, v=-1se^-st
Então
integral0^1t,e^-st,dt =l-tse^-str|0^1 +1sintegral0^1e^-st,dt
Agora
integral0^1e^-st,dt =l-1se^-str|0^1 =1-e^-ss,
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integral0^1t,e^-st,dt =-1se^-s +1scdot1-e^-ss =1s^2-s+1s^2e^-s

Passo 4

Para integral1^inftye^-st,dt temos
integral1^inftye^-st,dt =l-1se^-str|1^infty =e^-ss

Passo 5

Somando as duas partes:
Lf(t) =l(1s^2-s+1s^2e^-sr) +e^-ss =1s^2-e^-ss^2 =1-e^-ss^2

Resposta

Lf(t)=1-e^-ss^2

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