Abaixo, determine lim n infty an, quando existir.
an=(2 n-1)(3 n+1)n^3+3

Passo 1

O exercício pede para determinar o limite limntoinfty an, com an = (2n-1)(3n+1)n^3+3. O conteúdo envolve limites de sequências formadas por quociente de polinômios, e vamos precisar usar a ideia de dividir numerador e denominador pela maior potência de n.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o numerador multiplicando os fatores: (2n-1)(3n+1) = 6n^2 - n - 1. Assim, podemos reescrever
an = 6n^2 - n - 1n^3 + 3

Passo 3

Para estudar o comportamento quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador por n^3:
an = 6n^2 - n - 1n^3 + 3 = 6/n - 1/n^2 - 1/n^31 + 3/n^3

Passo 4

Quando ntoinfty, cada termo com 1/n, 1/n^2 ou 1/n^3 tende a zero. Ou seja, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Portanto, concluímos que o limite da sequência é zero.

Resposta

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