Nos exercícios a seguir encontre as derivadas parciais fx x, fx y, fy y da função f(x, y).
f(x, y)=3 x^2-raiz2 x y^2+y^5-2

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=3x^2-raiz2,x,y^2+y^5-2
O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver, vamos usar a definição de derivada parcial (tratar uma variável como constante) e a regra da potência.

Passo 2

Para achar fx, derivamos f em relação a x, tratando y como constante. Aplicando a regra da potência em 3x^2 e lembrando que -raiz2 é constante, temos:
fx=partialpartial x(3x^2)-raiz2,y^2+0=6x-raiz2,y^2

Passo 3

A partir de fx=6x-raiz2,y^2, derivamos de novo em relação a x para obter fxx e em relação a y para obter fxy:
fxx=partialpartial x(6x-raiz2y^2)=6
fxy=partialpartial y(6x-raiz2y^2)=-2raiz2,y

Passo 4

Para achar fy, derivamos f em relação a y, tratando x como constante. Em -raiz2x y^2 usamos produto (ou reconhecemos x como constante multiplicativa) e regra da potência em y^5:
fy=0-raiz2xcdot2y+5y^4=-2raiz2x,y+5y^4

Passo 5

Derivando fy=-2raiz2x,y+5y^4 em relação a y para obter fyy, aplicamos a regra da potência em cada termo:
fyy=partialpartial y(-2raiz2x,y+5y^4)=-2raiz2x+20y^3

Resposta

f_{xx}(x,y)=6, f_{xy}(x,y)=-2\sqrt{2},y, f_{yy}(x,y)=-2\sqrt{2},x+20y^3

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