Nos itens abaixo determine a diferencial d w.
w=x^3-x^2 y+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da diferencial total de uma função de duas variáveis, ou seja, encontrar dw para w = x^3 - x^2y + 3y^2. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e aplicação da fórmula da diferencial total.

Passo 2

Para achar a derivada parcial de w em relação a x, tratamos y como constante e usamos as regras de potência:
partial wpartial x = partialpartial x(x^3) - partialpartial x(x^2y) + partialpartial x(3y^2)
Derivando cada termo:
partialpartial x(x^3) = 3x^2, partialpartial x(x^2y) = 2xy, partialpartial x(3y^2) = 0
Logo,
partial wpartial x = 3x^2 - 2xy

Passo 3

Para achar a derivada parcial de w em relação a y, tratamos x como constante e derivamos:
partial wpartial y = partialpartial y(x^3) - partialpartial y(x^2y) + partialpartial y(3y^2)
Derivando cada termo:
partialpartial y(x^3) = 0, partialpartial y(x^2y) = x^2, partialpartial y(3y^2) = 6y
Logo,
partial wpartial y = -x^2 + 6y

Passo 4

Aplicando a fórmula da diferencial total para funções de duas variáveis,
dw = partial wpartial x,dx + partial wpartial y,dy,
substituímos os parciais encontrados:
dw = (3x^2 - 2xy),dx + (-x^2 + 6y),dy

Resposta

dw = (3x^2 - 2xy)dx + (-x^2 + 6y)dy

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