Abaixo, determine lim n infty an, quando existir.

Passo 1

Você tem a sequência definida por an = l(1 + tfrac1nr)^n e precisa determinar o limite limntoinfty an. O conteúdo aqui envolve limites de sequências e a definição do número e.

Passo 2

Para facilitar, vamos olhar o logaritmo natural de an. Definindo L = limntoinfty an, se existir, então ln L = limntoinfty ln(an) = limntoinfty n lnl(1 + tfrac1nr).

Passo 3

Para avaliar limntoinfty n lnl(1 + tfrac1nr), faça a troca x = tfrac1n. Quando ntoinfty, vem xto 0^+. Assim
[n \ln\bigl(1 + \tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{\ln(1+x)}{x}],
e o limite passa a ser limxto0^+ tfracln(1+x)x. Pela expansão em série ou por regra de L’Hôpital, sabemos que este limite vale 1.

Passo 4

Portanto ln L = 1, o que implica L = e^1 = e.

Resposta

e

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