Abaixo, determine
, quando existir.
Passo 1
Você tem a sequência definida por
e precisa determinar o limite
. O conteúdo aqui envolve limites de sequências e a definição do número
.
Passo 2
Para facilitar, vamos olhar o logaritmo natural de
. Definindo
, se existir, então
.
Passo 3
Para avaliar
, faça a troca
. Quando
, vem
. Assim
[n \ln\bigl(1 + \tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{\ln(1+x)}{x}],
e o limite passa a ser . Pela expansão em série ou por regra de L’Hôpital, sabemos que este limite vale
.
[n \ln\bigl(1 + \tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{\ln(1+x)}{x}],
e o limite passa a ser
Passo 4
Portanto
, o que implica
.