Nos exercícios a seguir use a regra da cadeia para calcular d zd t, d wd t
z=sin x+cos x y, x=t^2, y=t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dzdt onde z = sin x + cos x,y, com x = t^2 e y = t. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de z e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = ddx(sin x) + ddx(cos x,y) = cos x - ysin x
partial zpartial y = ddy(sin x) + ddy(cos x,y) = 0 + cos x = cos x

Passo 3

Derivar as funções x(t) e y(t):
dxdt = 2t
dydt = 1

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt
Substituindo tudo e lembrando que x = t^2 e y = t:
dzdt = (cos x - ysin x)cdot(2t) + (cos x)cdot1
dzdt = 2tcos(t^2) - 2tcdot tsin(t^2) + cos(t^2)
Simplificando:

Passo 5

No final temos
dzdt = (2t + 1)cos(t^2) - 2t^2sin(t^2)

Resposta

(2t + 1)cos(t^2) - 2t^2sin(t^2)

Exercícios relacionados