7 Mediram-se as dimensões de uma caixa retangular fechada obtendo-se as medidas 3 pés, 4 pés e 5 pés, com erro possível de
pés. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo para os seguintes valores calculados.
a) A área da superfície da caixa.
b) O volume da caixa.
a) A área da superfície da caixa.
b) O volume da caixa.
Passo 1
Resumo: as dimensões da caixa são x = 3 pés, y = 4 pés e z = 5 pés, cada uma com erro máximo Δx = Δy = Δz = 1/16 pé. Usaremos diferenciais para estimar o erro máximo na área de superfície e no volume.
Passo 2
A área da superfície de uma caixa retangular fechada é dada por
Passo 3
Tomando diferenciais, temos
Passo 4
Para o erro máximo, consideramos dx = dy = dz = Δ = 1/16 pé e substituímos x = 3, y = 4, z = 5:
Passo 5
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Passo 6
Para o volume V = xyz, a diferencial é
Passo 7
Substituindo x = 3, y = 4, z = 5 e dx = dy = dz = 1/16, temos
Resposta
a) Erro máximo aproximado em S: 3 pés²
b) Erro máximo aproximado em V: 47/16 pés³ (≈ 2,94 pés³)
b) Erro máximo aproximado em V: 47/16 pés³ (≈ 2,94 pés³)