7 Mediram-se as dimensões de uma caixa retangular fechada obtendo-se as medidas 3 pés, 4 pés e 5 pés, com erro possível de 116 pés. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo para os seguintes valores calculados.
a) A área da superfície da caixa.
b) O volume da caixa.

Passo 1

Resumo: as dimensões da caixa são x = 3 pés, y = 4 pés e z = 5 pés, cada uma com erro máximo Δx = Δy = Δz = 1/16 pé. Usaremos diferenciais para estimar o erro máximo na área de superfície e no volume.

Passo 2

A área da superfície de uma caixa retangular fechada é dada por
S = 2,(xy + xz + yz)

Passo 3

Tomando diferenciais, temos
dS = partial Spartial x,dx + partial Spartial y,dy + partial Spartial z,dz = 2(y+z),dx + 2(x+z),dy + 2(x+y),dz

Passo 4

Para o erro máximo, consideramos dx = dy = dz = Δ = 1/16 pé e substituímos x = 3, y = 4, z = 5:
partial Spartial x = 2(4+5)=18, partial Spartial y = 2(3+5)=16, partial Spartial z = 2(3+4)=14

Passo 5

Logo
dS approx (18+16+14)116 = 4816 = 3 Portanto o erro máximo aproximado na área de superfície é 3 pés².

Passo 6

Para o volume V = xyz, a diferencial é
dV = yz,dx + xz,dy + xy,dz

Passo 7

Substituindo x = 3, y = 4, z = 5 e dx = dy = dz = 1/16, temos
yz = 20, xz = 15, xy = 12, dV approx (20+15+12)116 = 4716 approx 2,9375 Logo o erro máximo aproximado no volume é 47/16 pés³ (aprox. 2,94 pés³).

Resposta

a) Erro máximo aproximado em S: 3 pés²
b) Erro máximo aproximado em V: 47/16 pés³ (≈ 2,94 pés³)

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