Abaixo, encontra-se a tábua de um grupo de ordem 6 cujo conjunto dos elementos é representado por
•
e
a
b
c
d
f
e
e
a
b
c
d
f
a
a
b
e
f
c
d
b
b
e
a
d
f
c
c
c
d
f
e
a
b
d
d
f
c
b
e
a
f
f
c
d
a
b
e
a) Determine
de maneira que
.
b) Determine todos os subgrupos de ondem 2 e 3 do grupo
.
• | e | a | b | c | d | f |
e | e | a | b | c | d | f |
a | a | b | e | f | c | d |
b | b | e | a | d | f | c |
c | c | d | f | e | a | b |
d | d | f | c | b | e | a |
f | f | c | d | a | b | e |
b) Determine todos os subgrupos de ondem 2 e 3 do grupo
Passo 1
O enunciado nos dá uma operação interna em
pela tábua fornecida e pede duas coisas:
- Um elemento
satisfazendo
- Todos os subgrupos de ordem 2 e de ordem 3 em
.
Para resolver a parte (a) vamos usar as propriedades de inverso em grupo e isolar. Para a parte (b) vamos identificar elementos de ordem 2 (involuções) e de ordem 3, e então formar os subgrupos cíclicos gerados por eles.
Passo 2
Primeiro calculamos
. Pelo inverso,
(vê-se na linha de
, coluna
), logo
Em seguida computamos
Na tábua, linha
, coluna
dá
. Assim
Passo 3
Agora avaliamos o lado direito:
então
O inverso de
satisfaz
(linha
, coluna
), logo
Passo 4
Reescrevendo a equação
com
, temos
Para isolar
, usamos inversos:
Da tábua,
implica
, e
implica
. Portanto
Finalmente,
(linha
, coluna
) e
(linha
, coluna
), logo
Passo 5
Para encontrar subgrupos de ordem 2, buscamos involuções, isto é, elementos
tais que
. Da tábua:
-
, então tem ordem 2. -
, então tem ordem 2.
Os outros não satisfazem. Cada involução gera um subgrupo de ordem 2:
Passo 6
Para subgrupos de ordem 3, buscamos elementos de ordem 3 (ou seja,
, mas
,
). Testando na tábua:
-
e , logo . -
e , logo .
Os outros não têm terceiro potência igual a. O conjunto gerado por (ou por ) é
e é o único subgrupo de ordem 3.
Resposta
a)
.
b) Os subgrupos de ordem 2 são e
; o subgrupo de ordem 3 é
.
b) Os subgrupos de ordem 2 são