Abaixo, encontra-se a tábua de um grupo de ordem 6 cujo conjunto dos elementos é representado por
e a b c d f
e e a b c d f
a a b e f c d
b b e a d f c
c c d f e a b
d d f c b e a
f f c d a b e
a) Determine de maneira que .
b) Determine todos os subgrupos de ondem 2 e 3 do grupo .

Passo 1

O enunciado nos dá uma operação interna em G=e,a,b,c,d,f pela tábua fornecida e pede duas coisas:
  1. Um elemento xin G satisfazendo
d^-1cdot fcdot xcdot b ;=;(acdot bcdot c)^-1
  1. Todos os subgrupos de ordem 2 e de ordem 3 em G.
    Para resolver a parte (a) vamos usar as propriedades de inverso em grupo e isolar x. Para a parte (b) vamos identificar elementos de ordem 2 (involuções) e de ordem 3, e então formar os subgrupos cíclicos gerados por eles.

Passo 2

Primeiro calculamos d^-1. Pelo inverso, dcdot d=e (vê-se na linha de d, coluna d), logo
d^-1=d
Em seguida computamos
d^-1cdot f ;=;dcdot f
Na tábua, linha d, coluna f a. Assim
d^-1cdot f = a

Passo 3

Agora avaliamos o lado direito:
acdot b;=;e(linha a, coluna b),
então
acdot bcdot c ;=; ecdot c ;=; c
O inverso de c satisfaz ccdot c=e (linha c, coluna c), logo
(acdot bcdot c)^-1=c

Passo 4

Reescrevendo a equação d^-1f,x,b=c com d^-1f=a, temos
acdot xcdot b = c
Para isolar x, usamos inversos:
x ;=; a^-1cdot ccdot b^-1
Da tábua, acdot b=e implica a^-1=b, e bcdot a=e implica b^-1=a. Portanto
x = bcdot ccdot a
Finalmente, bcdot c=d (linha b, coluna c) e dcdot a=f (linha d, coluna a), logo
x = f

Passo 5

Para encontrar subgrupos de ordem 2, buscamos involuções, isto é, elementos gneq e tais que gcdot g=e. Da tábua:
  • dcdot d=e, então d tem ordem 2.
  • fcdot f=e, então f tem ordem 2.
    Os outros não satisfazem g^2=e. Cada involução gera um subgrupo de ordem 2:
e,d e e,f

Passo 6

Para subgrupos de ordem 3, buscamos elementos de ordem 3 (ou seja, g^3=e, mas gneq e, g^2neq e). Testando na tábua:
  • a^2=b e a^3=a^2cdot a=bcdot a=e, logo ord(a)=3.
  • b^2=a e b^3=bcdot b^2=bcdot a=e, logo ord(b)=3.
    Os outros não têm terceiro potência igual a e. O conjunto gerado por a (ou por b) é
e,a,b
e é o único subgrupo de ordem 3.

Resposta

a) x=f.
b) Os subgrupos de ordem 2 são e,d e e,f; o subgrupo de ordem 3 é e,a,b.

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