Calcule a integral de superfície.
integral dupla5 y z d S, S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeio octante.

Passo 1

Então, o que temos aqui? A gente precisa calcular a integral de superfície
integral duplaS y,z;dS,
onde S é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante.
Matéria: integrais de superfície de função escalar.
O que vamos usar:
  • Parametrização (ou usar fórmula de gráfico z=z(x,y)).
  • Cálculo do elemento de área dS.
  • Montar e resolver a integral dupla.

Passo 2

Como o plano é x+y+z=1, dá para escrever
z ;=; 1 - x - y
Então a gente parametriza a superfície por (x,y) e define o domínio
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1
Em resumo: vamos integrar em x,y sobre o triângulo D.

Passo 3

Pra achar dS quando a superfície é o gráfico z=z(x,y), a teoria diz:
dS ;=;raiz1+l(zxr)^2+l(zyr)^2;dx,dy
Aqui
zx = partialpartial x(1-x-y) = -1, zy = partialpartial y(1-x-y) = -1,
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dS = raiz1+(-1)^2+(-1)^2;dx,dy =raiz3;dx,dy

Passo 4

Substituindo z=1-x-y e dS=raiz3,dx,dy, a integral vira
integral duplaSy,z,dS ;=; integral duplaDy,(1-x-y),raiz3;dx,dy

Passo 5

Vamos quebrar em duas etapas:
  1. Integral interna em y:
integral0^1-xy(1-x-y),dy =integral0^1-xl(y(1-x)-y^2r)dy =(1-x)(1-x)^22-(1-x)^33 =(1-x)^36
  1. Integral externa em x:
integral0^1(1-x)^36,dx =16integral0^1(1-x)^3dx =16cdot14 =124
Até aqui a parte “sem raiz3” deu tfrac124.

Passo 6

Só falta multiplicar pelo raiz3 que estava fora:
raiz3;times;124 ;=; raiz324

Resposta

raiz324

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