Abaixo se encontra a tábua de um grupo de ordem cujo conjunto dos elementos é representado por :
a) Resolva a seguinte equação em : .
b) Determine todos os subgrupos de de ordem 2 e 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um grupo G com elementos e, a, b, c, d, f e uma tábua de multiplicação que nos mostra como os elementos se combinam. O exercício tem duas partes:
a) Resolver a equação (c cdot d)^-1 cdot x^-1 cdot b cdot a^-1 = f^-1 em G .
b) Encontrar todos os subgrupos de G com ordem 2 e 3.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria necessária ao longo do caminho!

Passo 2

Parte a) Resolver a equação (c cdot d)^-1 cdot x^-1 cdot b cdot a^-1 = f^-1

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo significa:
  • e é o elemento identidade do grupo, ou seja, e cdot g = g cdot e = g para qualquer g in G .
  • g^-1 é o inverso de g , tal que g cdot g^-1 = e .
Nossa equação envolve inversos e multiplicações de elementos do grupo. Vamos resolver para x .

Passo 3

Passo 3: Vamos começar isolando x^-1 na equação.
A equação original é:
(c cdot d)^-1 cdot x^-1 cdot b cdot a^-1 = f^-1
Multiplicamos ambos os lados pela parte que está antes de x^-1 para isolar x^-1 :
x^-1 = (c cdot d) cdot f^-1 cdot a cdot b^-1
Aqui, usamos a propriedade de que (g cdot h)^-1 = h^-1 cdot g^-1 .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de c cdot d , f^-1 , a , e b^-1 usando a tábua de multiplicação.
Vamos consultar a tabela:
  • c cdot d = a (pela tabela).
  • f^-1 é o inverso de f . Observando a tabela, vemos que f cdot e = f , então f^-1 = d .
  • a permanece a .
  • b^-1 é o inverso de b . Observando a tabela, b cdot d = e , então b^-1 = d .

Passo 5

Substituindo esses valores na equação de x^-1 :
x^-1 = a cdot d cdot a cdot d
Agora, vamos calcular a cdot d usando a tabela:
  • a cdot d = f .
Portanto:
x^-1 = f cdot f

Passo 6

Calculando f cdot f na tabela:
  • f cdot f = d .
Então:
x^-1 = d
Para encontrar x , pegamos o inverso de ambos os lados:
x = d^-1
Observando a tabela, d cdot b = e , então d^-1 = b .

Passo 7

Parte b) Determinar todos os subgrupos de G de ordem 2 e 3

Vamos lembrar que um subgrupo de ordem n deve ter n elementos e satisfazer as propriedades de grupo (fechamento, existência de inversos, etc.).
Vamos identificar quais combinações de elementos formam subgrupos de ordem 2 e 3.

Passo 8

Subgrupos de ordem 2:
Precisamos pares de elementos que, quando multiplicados entre si, retornem ao elemento identidade e .
Vamos verificar as possíveis combinações:
  1. e, a : Verificando a cdot a = b (pela tabela, diferente de e ). Não é subgrupo.
  2. e, b : b cdot b = d . Não é subgrupo.
  3. e, c : c cdot c = e . Esse funciona!
  4. e, d : d cdot d = e . Também funciona!
  5. e, f : f cdot f = d . Não é subgrupo.
Então, subgrupos de ordem 2 são e, c e e, d .

Passo 9

Subgrupos de ordem 3:
Precisamos conjuntos de três elementos que formam um grupo. Vamos procurar ciclos fechados.
Analisando a tabela:
  1. e, a, b :
    • a cdot a = b
    • a cdot b = c (não está no conjunto). Não é subgrupo.
  2. e, a, f :
    • a cdot a = b (fora do conjunto). Não é subgrupo.
  3. e, b, d :
    • b cdot b = d
    • b cdot d = e
    • d cdot d = e
    • Fechado e com inversos. É um subgrupo!
  4. e, c, f :
    • c cdot c = e
    • c cdot f = b (fora do conjunto). Não é subgrupo.
Então, o único subgrupo de ordem 3 é e, b, d .

Resposta

b) Os subgrupos de G são:
  • De ordem 2: e, c e e, d .
  • De ordem 3: e, b, d .

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