Abaixo se encontra a tábua de um grupo de ordem
cujo conjunto dos elementos é representado por
:
a) Resolva a seguinte equação em
:
.
b) Determine todos os subgrupos de
de ordem 2 e 3 .
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b) Determine todos os subgrupos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um grupo
com elementos
e uma tábua de multiplicação que nos mostra como os elementos se combinam. O exercício tem duas partes:
a) Resolver a equação
em
.
b) Encontrar todos os subgrupos de
com ordem 2 e 3.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria necessária ao longo do caminho!
Passo 2
Parte a) Resolver a equação
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo significa:
-
é o elemento identidade do grupo, ou seja, para qualquer . -
é o inverso de , tal que .
Nossa equação envolve inversos e multiplicações de elementos do grupo. Vamos resolver para
.
Passo 3
Passo 3: Vamos começar isolando
na equação.
A equação original é:
Multiplicamos ambos os lados pela parte que está antes de
para isolar
:
Aqui, usamos a propriedade de que
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
,
,
, e
usando a tábua de multiplicação.
Vamos consultar a tabela:
-
(pela tabela). -
é o inverso de . Observando a tabela, vemos que , então . -
permanece . -
é o inverso de . Observando a tabela, , então .
Passo 5
Substituindo esses valores na equação de
:
Agora, vamos calcular
usando a tabela:
-
.
Portanto:
Passo 6
Calculando
na tabela:
-
.
Então:
Para encontrar
, pegamos o inverso de ambos os lados:
Observando a tabela,
, então
.
Passo 7
Parte b) Determinar todos os subgrupos de
de ordem 2 e 3
Vamos lembrar que um subgrupo de ordem
deve ter
elementos e satisfazer as propriedades de grupo (fechamento, existência de inversos, etc.).
Vamos identificar quais combinações de elementos formam subgrupos de ordem 2 e 3.
Passo 8
Subgrupos de ordem 2:
Precisamos pares de elementos que, quando multiplicados entre si, retornem ao elemento identidade
.
Vamos verificar as possíveis combinações:
-
: Verificando (pela tabela, diferente de ). Não é subgrupo. -
: . Não é subgrupo. -
: . Esse funciona! -
: . Também funciona! -
: . Não é subgrupo.
Então, subgrupos de ordem 2 são
e
.
Passo 9
Subgrupos de ordem 3:
Precisamos conjuntos de três elementos que formam um grupo. Vamos procurar ciclos fechados.
Analisando a tabela:
-
: -
-
(não está no conjunto). Não é subgrupo.
-
-
: -
(fora do conjunto). Não é subgrupo.
-
-
: -
-
-
- Fechado e com inversos. É um subgrupo!
-
-
: -
-
(fora do conjunto). Não é subgrupo.
-
Então, o único subgrupo de ordem 3 é
.
Resposta
b) Os subgrupos de
são:
- De ordem 2:
e . - De ordem 3:
.