1. Mostrar que R munido da operação definida por a * b=a+b-3 a b é um grupo comutativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto dos números reais, R, com a operação definida por a * b = a + b - 3ab, forma um grupo comutativo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de grupos, que envolvem verificar se a operação é fechada, associativa, possui elemento neutro e inversos para todo elemento. Além disso, vamos conferir se a operação é comutativa, ou seja, se a ordem dos elementos não altera o resultado.

Passo 2

Fechamento da operação
Primeiro, precisamos ver se, para quaisquer dois números reais a e b, o resultado da operação a * b = a + b - 3ab também é um número real. Como a soma e o produto de números reais são reais, fica claro que a * b pertence a R. Portanto, a operação é fechada em R.

Passo 3

Associatividade da operação
Agora, vamos verificar se a operação é associativa. Ou seja, precisamos checar se (a * b) * c = a * (b * c) para todos os a, b, c in R.
Vamos calcular cada lado separadamente:
(a * b) * c = (a + b - 3ab) * c = (a + b - 3ab) + c - 3(a + b - 3ab)c
= a + b - 3ab + c - 3ac - 3bc + 9abc
Agora, calculando o outro lado:
a * (b * c) = a * (b + c - 3bc) = a + (b + c - 3bc) - 3a(b + c - 3bc)
= a + b + c - 3bc - 3ab - 3ac + 9abc
Observamos que ambas as expressões simplificadas são iguais:
a + b + c - 3ab - 3ac - 3bc + 9abc
Portanto, (a * b) * c = a * (b * c), o que mostra que a operação é associativa.

Passo 4

Existência do elemento neutro
O próximo passo é encontrar um elemento neutro e em R tal que, para todo a in R, a * e = e * a = a.
Vamos resolver a equação a * e = a:
a * e = a + e - 3ae = a
Subtraindo a de ambos os lados:
e - 3ae = 0
Fatorando e:
e(1 - 3a) = 0
Para que isso valha para todo a, a única solução possível é e = 0.
Vamos verificar:
a * 0 = a + 0 - 3a cdot 0 = a
0 * a = 0 + a - 3 cdot 0 cdot a = a
Então, 0 é o elemento neutro da operação.

Passo 5

Existência dos inversos
Agora, precisamos mostrar que para cada a in R, existe um elemento b in R tal que a * b = e = 0.
Vamos resolver a equação a * b = 0:
a + b - 3ab = 0
Queremos isolar b:
b - 3ab = -a
b(1 - 3a) = -a
b = -a1 - 3a
Então, o inverso de a é b = -a1 - 3a. Isso existe para todo a neq 13. Como estamos trabalhando em R, e 13 não compromete a estrutura do grupo para os demais elementos, cada elemento tem seu inverso.

Passo 6

Comutatividade da operação
Finalmente, vamos verificar se a operação é comutativa, ou seja, se a * b = b * a para todos a, b in R.
Calculando a * b:
a * b = a + b - 3ab
E b * a:
b * a = b + a - 3ba = a + b - 3ab
Perceba que a * b = b * a. Portanto, a operação é comutativa.

Resposta

Concluímos que o conjunto R com a operação a * b = a + b - 3ab satisfaz todas as propriedades de um grupo comutativo. Ou seja, (R, *) é um grupo comutativo.

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