- Mostrar que
munido da operação definida por
é um grupo comutativo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto dos números reais,
, com a operação definida por
, forma um grupo comutativo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de grupos, que envolvem verificar se a operação é fechada, associativa, possui elemento neutro e inversos para todo elemento. Além disso, vamos conferir se a operação é comutativa, ou seja, se a ordem dos elementos não altera o resultado.
Passo 2
Fechamento da operação
Primeiro, precisamos ver se, para quaisquer dois números reais
e
, o resultado da operação
também é um número real. Como a soma e o produto de números reais são reais, fica claro que
pertence a
. Portanto, a operação é fechada em
.
Passo 3
Associatividade da operação
Agora, vamos verificar se a operação é associativa. Ou seja, precisamos checar se
para todos os
.
Vamos calcular cada lado separadamente:
Agora, calculando o outro lado:
Observamos que ambas as expressões simplificadas são iguais:
Portanto,
, o que mostra que a operação é associativa.
Passo 4
Existência do elemento neutro
O próximo passo é encontrar um elemento neutro
em
tal que, para todo
,
.
Vamos resolver a equação
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Para que isso valha para todo
, a única solução possível é
.
Vamos verificar:
Então,
é o elemento neutro da operação.
Passo 5
Existência dos inversos
Agora, precisamos mostrar que para cada
, existe um elemento
tal que
.
Vamos resolver a equação
:
Queremos isolar
:
Então, o inverso de
é
. Isso existe para todo
. Como estamos trabalhando em
, e
não compromete a estrutura do grupo para os demais elementos, cada elemento tem seu inverso.
Passo 6
Comutatividade da operação
Finalmente, vamos verificar se a operação é comutativa, ou seja, se
para todos
.
Calculando
:
E
:
Perceba que
. Portanto, a operação é comutativa.
Resposta
Concluímos que o conjunto
com a operação
satisfaz todas as propriedades de um grupo comutativo. Ou seja,
é um grupo comutativo.