Abaixo se encontra os valores assumidos por uma função f em um intervalo 0<t<L. Encontre a séries de Fourier em senos e em cossenos de f e esboce os gráficos das extensões da f para as quais as duas séries convergem.
f(t)=l0 ; 0<t<1 1 ; 1<t<2 0 ; 2<t<3

Passo 1

O enunciado dá uma função
e pede (i) a série de Fourier em senos (meio-intervalo ímpar) e (ii) a série de Fourier em cossenos (meio-intervalo par), ambas com (L=3], além dos esboços das extensões periódicas para as quais cada uma converge.

Passo 2

Para a série de senos (meio-intervalo ímpar) usamos a fórmula
bn=2Lintegral0^Lf(t),sin!l(npi tLr),dt,
e então
f(t)sim sumn=1^inftybn,sin!l(npi t3r)

Passo 3

Como f(t)=1 só em 1<t<2, temos
bn=23integral1^2sin!l(npi t3r),dt =23l[-3npicos!l(npi t3r)r]1^2 =2npil[cos!l(tfracnpi3r)-cos!l(tfrac2npi3r)r]
Usando a identidade de diferença de cossenos, fica
bn =4npi,sin!l(npi2r),sin!l(npi6r)

Passo 4

Portanto a série de Fourier em senos é
f(t)=sumn=1^infty4npi,sin!l(npi2r),sin!l(npi6r),sin!l(npi t3r)

Passo 5

Para a série de cossenos (meio-intervalo par) usamos
a0=2Lintegral0^Lf(t),dt, an=2Lintegral0^Lf(t),cos!l(npi tLr),dt,
e então
f(t)sim a02+sumn=1^inftyan,cos!l(npi t3r)

Passo 6

Como antes f=1 só em 1<t<2,
a0=23integral1^21,dt=23, an=23integral1^2cos!l(npi t3r),dt =2npil[sin!l(tfrac2npi3r)-sin!l(tfracnpi3r)r]

Passo 7

Logo a expansão em cossenos é
f(t)=13+sumn=1^infty2npi l[sin!l(tfrac2npi3r)-sin!l(tfracnpi3r)r] cos!l(npi t3r)

Passo 8

Esboço das extensões periódicas de período 2L=6:
  • Série de senos: estende f como função ímpar, isto é, para -3<t<0 vale f(t)=-f(-t), e depois repete com período 6. Assim em -2<t<-1 temos f(t)=-1, fora desses intervalos vale zero.
  • Série de cossenos: estende f como função par, isto é, para -3<t<0 vale f(t)=f(-t), e depois repete com período 6. Assim em -2<t<-1 temos f(t)=1, fora desses intervalos vale zero.

Resposta

Série de senos:
f(t)=sumn=1^infty4npi,sin!l(npi2r),sin!l(npi6r),sin!l(npi t3r)
Série de cossenos:
f(t)=13+sumn=1^infty2npi l[sin!l(tfrac2npi3r)-sin!l(tfracnpi3r)r] cos!l(npi t3r)
Esboços: a série de senos converge para a extensão ímpar periódica de período 6; a de cossenos para a extensão par periódica de mesmo período.

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