• O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=-1 e x= 1. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados entre as parábolas y=x^2 e y=2-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido que vai de x=-1 a x=1 e cujas secções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados delimitados pelas parábolas y=x^2 (embaixo) e y=2-x^2 (embaixo). O método é usar a fórmula de volume por integração de áreas transversais:
V = integrala^b A(x),dx

Passo 2

Em cada x, o lado do quadrado vale a distância entre as curvas
s(x)=l(2 - x^2r)-l(x^2r)=2-2x^2

Passo 3

A área da secção transversal é
A(x)=l[s(x)r]^2=(2-2x^2)^2

Passo 4

Logo o volume é
V=integral-1^1(2-2x^2)^2,dx
Para simplificar, note que
(2-2x^2)^2=4,(1 - x^2)^2=4l(1 -2x^2+x^4r)

Passo 5

Como ,1, x^2 e x^4 são funções pares, usamos simetria e obtemos
V=4integral-1^1l(1 -2x^2+x^4r),dx =4l[integral-1^11,dx-2integral-1^1x^2,dx+integral-1^1x^4,dxr]
Calculando cada integral:
integral-1^11,dx=2, integral-1^1x^2,dx=tfrac23, integral-1^1x^4,dx=tfrac25
Substituindo,
V=4l(2-2cdottfrac23+tfrac25r) =4l(tfrac30-20+615r) =4cdottfrac1615 =tfrac6415

Resposta

boxedV=tfrac6415

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