Questão 5
Calcule a integral
$\int_{0}^{\pi / 2}
operatorname{sen}^{2}(2 x)
dx$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/2 sin^2(2x),dx
Esse problema envolve redução de potência em funções trigonométricas, usando a identidade para sin^2.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Aqui theta = 2x, então
sin^2(2x) = 1 - cos(4x)2

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral0^pi/2 sin^2(2x),dx = integral0^pi/2 1 - cos(4x)2,dx = 12integral0^pi/2l(1 - cos(4x)r),dx

Passo 4

Integramos termo a termo:
12l[integral0^pi/2 1,dx ;-;integral0^pi/2cos(4x),dxr]
Sabemos que integral 1,dx = x e integral cos(4x),dx = sin(4x)4.

Passo 5

Agora avaliamos nos limites 0 a pi/2:
12l[xr]0^pi/2 - 12l[tfracsin(4x)4r]0^pi/2 = 12l(pi2 - 0r) - 18l(sin(2pi)-sin(0)r)
Como sin(2pi)=0 e sin(0)=0, o segundo termo some, sobrando
12cdotpi2 = pi4

Resposta

pi4

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