Use a Definição 7.1.1 para determinar

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t) definida por
f(t)= 2t+1,&0<= t<1, 0,&t>=1,
ou seja, vamos usar a definição
Lf(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt

Passo 2

Como f(t)=0 para t>=1, a integral vai de 0 a 1:
Lf(s) =integral0^1e^-st(2t+1),dt

Passo 3

Separe em duas integrais:
integral0^1(2t+1)e^-stdt =2integral0^1t,e^-stdt +integral0^1e^-stdt
Agora,
integral0^1e^-stdt =1-e^-ss,
e, por integração por partes ( u=t, dv=e^-stdt),
integral0^1t,e^-stdt =l[-tfract,e^-stsr]0^1 +1sintegral0^1e^-stdt =-e^-ss+1-e^-ss^2 =1-e^-s(1+s)s^2

Passo 4

Reunindo tudo:
Lf(s) =2cdot1-e^-s(1+s)s^2 +1-e^-ss =2l(1-e^-s(1+s)r)+sl(1-e^-sr)s^2 =s+2-(2+3s)e^-ss^2

Resposta

Lf(t)(s) =s+2s^2 -(2+3s)e^-ss^2

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