Use a Definição 7.1.1 para determinar

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= sin t, & 0 <= t < pi, 0, & t >= pi,
usando a Definição 7.1.1, ou seja
Lf(s)=integral0^inftyf(t),e^-st,dt

Passo 2

Como f(t)=0 para t>=pi, o integral vai de 0 a pi:
Lf(s) =integral0^inftyf(t),e^-st,dt =integral0^pisin t,e^-st,dt

Passo 3

Para calcular
integral e^-stsin t,dt
usamos integração por partes ou a primitiva conhecida
integral e^-stsin t,dt =-e^-sts^2+1l(ssin t+cos tr)+C
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integral0^pisin t,e^-st,dt =[-e^-st(ssin t+cos t)s^2+1]0^pi

Passo 4

Avaliaremos em t=pi e em t=0:
em t=pi:&; -e^-spil(ssinpi+cospir)s^2+1 =-e^-spi(0-1)s^2+1 =e^-spis^2+1, em t=0:&; -e^0(ssin0+cos0)s^2+1 =-1cdot(0+1)s^2+1 =-1s^2+1
Subtraindo,
integral0^pisin t,e^-st,dt =e^-spis^2+1-l(-1s^2+1r) =1+e^-spis^2+1

Resposta

Lf(t)(s) =1+e^-spis^2+1

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