Para as TL abaixo, encontre a matriz de transformação, o núcleo e a imagem. Dê uma base e a dimensão para cada caso. Para os polinômios utilize a base canônica \left\{1, x, x^{2}, \ldots\right\}. Atenção: as matrizes dos itens (a), (b) e (c) devem ter tamanhos 4 \times 4,4 \times 3 e 4 \times 4 respectivamente. I: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathcal{P}_{3}, \quad I[p(x)]=\int_{0}^{x} p(t) d t.
Espaço domínio: \mathcal{P}_{2} (polinômios de grau \le 2), base canônica escolhida: \{1,x,x^{2}\}.
Espaço contradomínio: \mathcal{P}_{3} (polinômios de grau \le 3), base canônica escolhida: \{1,x,x^{2},x^{3}\}.
Pedidos:
Obter a matriz de I relativa às bases canônicas (deve ser 4\times3, pois o contradomínio tem dimensão 4 e o domínio dimensão 3).
Determinar o núcleo \ker(I): dar uma base e a dimensão.
Determinar a imagem \operatorname{Im}(I): dar uma base e a dimensão.
Passo 2
Vamos calcular I aplicado aos vetores da base do domínio e escrever os resultados em coordenadas na base canônica do contradomínio. Isso nos dá as colunas da matriz de I.
Calcule I[1]:
I[1]=\int_{0}^{x} 1\,dt = x.
Escrevendo x na base \{1,x,x^{2},x^{3}\} obtém-se o vetor de coordenadas
A matriz de I na base canônica é formada pelas colunas acima (cada coluna é a imagem de um vetor da base do domínio escrita na base do contradomínio). Assim a matriz A é
onde a primeira coluna corresponde a I[1], a segunda a I[x] e a terceira a I[x^{2}].]
Passo 4
Determinar \ker(I).
Se p\in\mathcal{P}_{2} está no núcleo, então \displaystyle \int_{0}^{x} p(t)\,dt\equiv 0 como polinômio em x. Derivando ambos os lados em relação a x (fonte: a derivada do integral dependente do limite superior é o integrando),
\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x} p(t)\,dt\right)=p(x)=0 \quad\text{para todo }x.
Logo p é o polinômio zero. Portanto
\ker(I)=\{0\}.
Base do núcleo: conjunto vazio (ou \varnothing). Dimensão: \dim(\ker(I))=0.
Passo 5
Determinar \operatorname{Im}(I).
Observação prática: para qualquer p\in\mathcal{P}_{2} temos I[p](0)=\int_{0}^{0}p(t)\,dt=0. Logo toda imagem é um polinômio em \mathcal{P}_{3} que se anula em 0; isto é, tem termo constante nulo. Assim
Por outro lado, se q\in\mathcal{P}_{3} tem q(0)=0, escreva q(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}. Então definindo p(x)=q'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2} (que é um polinômio em \mathcal{P}_{2}) obtemos
I[p](x)=\int_{0}^{x} p(t)\,dt = q(x)-q(0)=q(x).
Logo todo polinômio de \mathcal{P}_{3} sem termo constante pertence à imagem. Concluímos
Base natural: \{x,x^{2},x^{3}\}. Dimensão: \dim(\operatorname{Im}(I))=3.
(Comentário útil: isso coincide com a soma da dimensão do núcleo e do posto da matriz; aqui posto = dimensão da imagem =3, e \dim(\ker)=0, total \dim(\mathcal{P}_{2})=3, conferindo o Teorema do Núcleo e Imagem.)
Resposta
Matriz (na base canônica \{1,x,x^{2}\} para o domínio e \{1,x,x^{2},x^{3}\} para o contradomínio):