Para as TL abaixo, encontre a matriz de transformação, o núcleo e a imagem. Dê uma base e a dimensão para cada caso. Para os polinômios utilize a base canônica \left\{1, x, x^{2}, \ldots\right\}. Atenção: as matrizes dos itens (a), (b) e (c) devem ter tamanhos 4 \times 4,4 \times 3 e 4 \times 4 respectivamente.
I: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathcal{P}_{3}, \quad I[p(x)]=\int_{0}^{x} p(t) d t.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
I:\mathcal{P}_{2}\to\mathcal{P}_{3},\qquad I[p(x)]=\int_{0}^{x} p(t)\,dt.
Informações fornecidas e pedidos:
  • Espaço domínio: \mathcal{P}_{2} (polinômios de grau \le 2), base canônica escolhida: \{1,x,x^{2}\}.
  • Espaço contradomínio: \mathcal{P}_{3} (polinômios de grau \le 3), base canônica escolhida: \{1,x,x^{2},x^{3}\}.
  • Pedidos:
    1. Obter a matriz de I relativa às bases canônicas (deve ser 4\times3, pois o contradomínio tem dimensão 4 e o domínio dimensão 3).
    2. Determinar o núcleo \ker(I): dar uma base e a dimensão.
    3. Determinar a imagem \operatorname{Im}(I): dar uma base e a dimensão.

Passo 2

Vamos calcular I aplicado aos vetores da base do domínio e escrever os resultados em coordenadas na base canônica do contradomínio. Isso nos dá as colunas da matriz de I.
Calcule I[1]:
I[1]=\int_{0}^{x} 1\,dt = x.
Escrevendo x na base \{1,x,x^{2},x^{3}\} obtém-se o vetor de coordenadas
I[1] \mapsto \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Calcule I[x]:
I[x]=\int_{0}^{x} t\,dt = \frac{x^{2}}{2}.
Coordenadas na base do contradomínio:
I[x] \mapsto \begin{pmatrix}0\\\ 0\\tfrac{1}{2}\\\ 0\end{pmatrix}.
Calcule I[x^{2}]:
I[x^{2}]=\int_{0}^{x} t^{2}\,dt = \frac{x^{3}}{3}.
Coordenadas:
I[x^{2}] \mapsto \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz de I na base canônica é formada pelas colunas acima (cada coluna é a imagem de um vetor da base do domínio escrita na base do contradomínio). Assim a matriz A é
A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix},
onde a primeira coluna corresponde a I[1], a segunda a I[x] e a terceira a I[x^{2}].]

Passo 4

Determinar \ker(I).
Se p\in\mathcal{P}_{2} está no núcleo, então \displaystyle \int_{0}^{x} p(t)\,dt\equiv 0 como polinômio em x. Derivando ambos os lados em relação a x (fonte: a derivada do integral dependente do limite superior é o integrando),
\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x} p(t)\,dt\right)=p(x)=0 \quad\text{para todo }x.
Logo p é o polinômio zero. Portanto
\ker(I)=\{0\}.
Base do núcleo: conjunto vazio (ou \varnothing). Dimensão: \dim(\ker(I))=0.

Passo 5

Determinar \operatorname{Im}(I).
Observação prática: para qualquer p\in\mathcal{P}_{2} temos I[p](0)=\int_{0}^{0}p(t)\,dt=0. Logo toda imagem é um polinômio em \mathcal{P}_{3} que se anula em 0; isto é, tem termo constante nulo. Assim
\operatorname{Im}(I)\subseteq \{q\in\mathcal{P}_{3}:\;q(0)=0\}.
Por outro lado, se q\in\mathcal{P}_{3} tem q(0)=0, escreva q(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}. Então definindo p(x)=q'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2} (que é um polinômio em \mathcal{P}_{2}) obtemos
I[p](x)=\int_{0}^{x} p(t)\,dt = q(x)-q(0)=q(x).
Logo todo polinômio de \mathcal{P}_{3} sem termo constante pertence à imagem. Concluímos
\operatorname{Im}(I)=\operatorname{span}\{x,x^{2},x^{3}\}.
Base natural: \{x,x^{2},x^{3}\}. Dimensão: \dim(\operatorname{Im}(I))=3.
(Comentário útil: isso coincide com a soma da dimensão do núcleo e do posto da matriz; aqui posto = dimensão da imagem =3, e \dim(\ker)=0, total \dim(\mathcal{P}_{2})=3, conferindo o Teorema do Núcleo e Imagem.)

Resposta

Matriz (na base canônica \{1,x,x^{2}\} para o domínio e \{1,x,x^{2},x^{3}\} para o contradomínio):
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}
Núcleo:
\ker(I)=\{0\},\quad \text{base }=\varnothing,\quad \dim(\ker(I))=0.
Imagem:
\operatorname{Im}(I)=\operatorname{span}\{x,x^{2},x^{3}\},\quad \text{base }=\{x,x^{2},x^{3}\},\quad \dim(\operatorname{Im}(I))=3.

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