Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y)=(2 x-y, y,-x+y). Escreva a matriz de transformação [T] nas bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}. Note que [ T ] é uma matrix 3 \times 2.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(2x-y,\;y,\;-x+y).
Pede-se a matriz de T nas bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3. Informação importante fornecida:
A transformação é explicitamente dada por coordenadas em função de (x,y).
A matriz pedida será de dimensão 3\times2 (três linhas, duas colunas).
Passo 2
O que significa “matriz de T nas bases canônicas”? Vou explicar com calma.
A base canônica de \mathbb{R}^2 é \{e_1,e_2\} onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
A base canônica de \mathbb{R}^3 é \{f_1,f_2,f_3\} onde f_1=(1,0,0), f_2=(0,1,0), f_3=(0,0,1).
Regra prática: a matriz de T (naquelas bases) tem como primeira coluna as coordenadas de T(e_1) em relação à base canônica de \mathbb{R}^3, e como segunda coluna as coordenadas de T(e_2). Em símbolos, se