Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y)=(2 x-y, y,-x+y). Escreva a matriz de transformação [T] nas bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}. Note que [ T ] é uma matrix 3 \times 2.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(2x-y,\;y,\;-x+y).
Pede-se a matriz de T nas bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3. Informação importante fornecida:
  • A transformação é explicitamente dada por coordenadas em função de (x,y).
  • A matriz pedida será de dimensão 3\times2 (três linhas, duas colunas).

Passo 2

O que significa “matriz de T nas bases canônicas”? Vou explicar com calma.
  • A base canônica de \mathbb{R}^2 é \{e_1,e_2\} onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • A base canônica de \mathbb{R}^3 é \{f_1,f_2,f_3\} onde f_1=(1,0,0), f_2=(0,1,0), f_3=(0,0,1).
Regra prática: a matriz de T (naquelas bases) tem como primeira coluna as coordenadas de T(e_1) em relação à base canônica de \mathbb{R}^3, e como segunda coluna as coordenadas de T(e_2). Em símbolos, se
T(e_1) = \begin{pmatrix} a_1\\\ a_2\\\ a_3\end{pmatrix},\qquad T(e_2) = \begin{pmatrix} b_1\\\ b_2\\\ b_3\end{pmatrix},
então
[T] = \begin{pmatrix} a_1 & b_1\\\ a_2 & b_2\\\ a_3 & b_3\end{pmatrix}.
Isso vale porque coordenadas na base canônica são simplesmente as próprias componentes.

Passo 3

Calcular T(e_1)=T(1,0). Substituindo (x,y)=(1,0) na definição de T:
T(1,0) = (2\cdot 1 - 0,\; 0,\; -1 + 0) = (2,\;0,\;-1).
Então a primeira coluna da matriz será \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular T(e_2)=T(0,1). Substituindo (x,y)=(0,1):
T(0,1) = (2\cdot 0 - 1,\; 1,\; -0 + 1) = (-1,\;1,\;1).
Então a segunda coluna da matriz será \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora montamos a matriz juntando as colunas calculadas, na ordem T(e_1),T(e_2). Assim
[T]=\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix}.
Como verificação rápida: multiplicando essa matriz por o vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} obtém-se
\begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-y\\[4pt] y\\[4pt] -x+y\end{pmatrix},
que é exatamente T(x,y). Beleza — tudo confere.]

Resposta

[T]=\begin{pmatrix} 2 & -1\\\\ 0 & 1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}

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