Abaixo, obtenha uma aproximação com três casas decimais da soma de cada série.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n+15^n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1n+15^n
com precisão de três casas decimais. O conteúdo envolvido é soma de séries de potências e vamos usar as fórmulas padrões para
sum x^n e sum n x^n.

Passo 2

Definimos
x = -15
para reescrever o termo geral. Observamos que
$$(-1){n-1}\frac{1}{5n} = -x^n,
(-1)^n-115^n = -x^n, S = \sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{n+1}{5^{n}} = -\sum_{n=1}{\infty}(n+1)xn.
$$

Passo 3

Vamos decompor
$$\sum_{n=1}{\infty}(n+1)xn = \sum_{n=1}^{\infty}n x^n + \sum_{n=1}{\infty}xn.
$$Usando as fórmulas:
sumn=1^infty(n+1)x^n = sumn=1^inftyn x^n + sumn=1^inftyx^n
sumn=1^inftyx^n = x1-x,
vem
sumn=1^inftyn x^n = x(1-x)^2,

Passo 4

Substituindo em
$$S = -\sum_{n=1}{\infty}(n+1)xn = -x\frac{2 - x}{(1-x)^2}
S = -sumn=1^infty(n+1)x^n = -x2 - x(1-x)^2
S = -\Bigl(-\frac{1}{5}\Bigr)\frac{2 - (-1/5)}{\bigl(1 - (-1/5)\bigr)^2}
= \frac{1}{5}\frac{2 + 1/5}{\bigl(6/5\bigr)^2}
= \frac{1}{5}\frac{11/5}{36/25}
= \frac{11}{36}.
$$

Passo 5

Aproximando 11/36approx0,305555 com três casas decimais, obtemos 0{,}306.

Resposta

0,306

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