Abaixo, obtenha uma aproximação com três casas decimais da soma de cada série.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série alternada
com precisão de três casas decimais. O conteúdo envolvido é soma de séries de potências e vamos usar as fórmulas padrões para
e
.
Passo 2
Definimos
para reescrever o termo geral. Observamos que
$$(-1){n-1}\frac{1}{5n} = -x^n,
$$
Passo 3
Vamos decompor
$$\sum_{n=1}{\infty}(n+1)xn = \sum_{n=1}^{\infty}n x^n + \sum_{n=1}{\infty}xn.
$$Usando as fórmulas:
vem
Passo 4
Substituindo em
$$S = -\sum_{n=1}{\infty}(n+1)xn = -x\frac{2 - x}{(1-x)^2}
S = -\Bigl(-\frac{1}{5}\Bigr)\frac{2 - (-1/5)}{\bigl(1 - (-1/5)\bigr)^2}
= \frac{1}{5}\frac{2 + 1/5}{\bigl(6/5\bigr)^2}
= \frac{1}{5}\frac{11/5}{36/25}
= \frac{11}{36}.
= \frac{1}{5}\frac{2 + 1/5}{\bigl(6/5\bigr)^2}
= \frac{1}{5}\frac{11/5}{36/25}
= \frac{11}{36}.
$$
Passo 5
Aproximando
com três casas decimais, obtemos 0{,}306.
Resposta
0,306