Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+y=1-u1(t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y''+2y'+y=1-u1(t) com condições y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo principal é equação linear de segunda ordem com forçamento via degrau unitário, e vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo para lidar com u1(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0) e Lu1(t)=e^-s/s, obtemos
$$(s2+2s+1)Y(s)-1=\frac{1}{s}-\frac{e{-s}}{s}.
$$Isolando (s^2+2s+1)Y(s)-1=1s-e^-ss
$$Y(s)=\frac{1/s - e^{-s}/s +1}{(s+1)^2} = \frac{1}{s(s+1)}-\frac{e{-s}}{s(s+1)2}.
$$

Passo 3

Agora escrevemos
Y(s)=Y1(s)-e^-s,Y2(s),
onde
$$Y_1(s)=\frac{1}{s(s+1)},\qquad Y_2(s)=\frac{1}{s(s+1)^2}.
$$Vamos achar suas inversas por frações parciais.

Passo 4

Para Y1(s)=1/[s(s+1)] fazemos
1s(s+1)=As+Bs+1,
com A=1 e B=-1, logo
$$\mathcal{L}^{-1}{Y_1(s)}=1 - e^{-t}.
L^-1Y1(s)=1 - e^-t \frac{1}{s(s+1)2}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)2},$$
cuja inversa é
$$f(t)=1 - e{-t}-t,e{-t}.
$$

Passo 5

Pelo teorema do deslocamento, L^-1e^-sY2(s)=u1(t),f(t-1). Portanto a solução é
$$y(t)=\bigl(1-e{-t}\bigr)-u_1(t)\bigl[1-e{-(t-1)}-(t-1)e^{-(t-1)}\bigr].
$$

Passo 6

Podemos também escrever em forma de peça:
Para 0<= t<1: y(t)=1-e^-t,
Para t>=1: y(t)=t,e^-(t-1)-e^-t

Resposta

y(t)=l(1-e^-tr)-u1(t)l[1-e^-(t-1)-(t-1)e^-(t-1)r]

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