Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com condições
e
. O conteúdo principal é equação linear de segunda ordem com forçamento via degrau unitário, e vamos usar transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo para lidar com
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que
,
e
, obtemos
$$(s2+2s+1)Y(s)-1=\frac{1}{s}-\frac{e{-s}}{s}.
$$Isolando
dá
$$Y(s)=\frac{1/s - e^{-s}/s +1}{(s+1)^2} = \frac{1}{s(s+1)}-\frac{e{-s}}{s(s+1)2}.
$$
Passo 3
Agora escrevemos
onde
$$Y_1(s)=\frac{1}{s(s+1)},\qquad Y_2(s)=\frac{1}{s(s+1)^2}.
$$Vamos achar suas inversas por frações parciais.
Passo 4
Para
fazemos
com
$$\mathcal{L}^{-1}{Y_1(s)}=1 - e^{-t}.
cuja inversa é
$$f(t)=1 - e{-t}-t,e{-t}.
$$
Passo 5
Pelo teorema do deslocamento,
. Portanto a solução é
$$y(t)=\bigl(1-e{-t}\bigr)-u_1(t)\bigl[1-e{-(t-1)}-(t-1)e^{-(t-1)}\bigr].
$$
Passo 6
Podemos também escrever em forma de peça:
Para :
,
Para
Para
: