Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Enunciado: Resolver o problema de valor inicial
com
e
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com entrada degrau; para isso vamos usar transformada de Laplace.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace na EDO
. Usando as propriedades
,
e
, e substituindo
,
, obtemos:
Passo 3
Isolamos
:
Passo 4
Para a parte não deslocada, fazemos frações parciais em
:
Passo 5
Invertendo, obtemos a solução homogênea:
Passo 6
Para a parte deslocada, observamos que
corresponde a
, onde fazemos frações parciais em
:
Passo 7
que inverte para
Passo 8
Logo a parte forçada é:
Passo 9
Juntando as duas partes, a solução geral é:
Resposta
y(t) = e^{-t} - e^{-2t} + u_2(t)\left[\tfrac12 - e^{-(t-2)} + \tfrac12e^{-2(t-2)}\right]