Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=u2(t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Enunciado: Resolver o problema de valor inicial y''+3y'+2y = u2(t) com y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com entrada degrau; para isso vamos usar transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace na EDO y''+3y'+2y = u2(t). Usando as propriedades Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0) e Lu2(t)=e^-2s/s, e substituindo y(0)=0, y'(0)=1, obtemos:
(s^2+3s+2)Y(s) - 1 = e^-2ss

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) = 1s^2+3s+2 ,+, e^-2ss(s^2+3s+2)

Passo 4

Para a parte não deslocada, fazemos frações parciais em 1/(s^2+3s+2)=1/[(s+1)(s+2)]:
1(s+1)(s+2) = 1s+1 - 1s+2

Passo 5

Invertendo, obtemos a solução homogênea:
y1(t) = e^-t - e^-2t

Passo 6

Para a parte deslocada, observamos que tfrace^-2ss(s+1)(s+2) corresponde a u2(t)f(t-2), onde fazemos frações parciais em F(s)=1/[s(s+1)(s+2)]:
1s(s+1)(s+2) = 1/2s - 1s+1 + 1/2s+2,

Passo 7

que inverte para
f(t) = 12 - e^-t + 12e^-2t

Passo 8

Logo a parte forçada é:
y2(t) = u2(t)l[tfrac12 - e^-(t-2) + tfrac12e^-2(t-2)r]

Passo 9

Juntando as duas partes, a solução geral é:
y(t) = e^-t - e^-2t + u2(t)l[tfrac12 - e^-(t-2) + tfrac12e^-2(t-2)r]

Resposta

y(t) = e^{-t} - e^{-2t} + u_2(t)\left[\tfrac12 - e^{-(t-2)} + \tfrac12e^{-2(t-2)}\right]

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