Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

O enunciado pede a derivação de f(t)=e^t/2(t^2+5t), usando regras de derivação como o produto e a cadeia.

Passo 2

Primeiro a gente identifica as duas funções do produto: u(t)=e^t/2 e v(t)=t^2+5t, e aplica a regra do produto que diz (uv)'=u'v+uv'.

Passo 3

Calculamos v'(t) usando a derivada de polinômio:
v'(t)=(t^2+5t)'=2t+5

Passo 4

Em seguida, obtemos u'(t) usando a regra da cadeia para e^g(t):
u'(t)=ddtl(e^t/2r)=e^t/2cdotddtl(tfrac t2r)=e^t/2cdottfrac12

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do produto:
f'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=e^t/2cdottfrac12,(t^2+5t)+e^t/2(2t+5)

Passo 6

Por fim, fatoramos e^t/2 e colocamos em uma única fração:

Resposta

f'(t)= e^t/2t^2+9t+102.

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