Determine o volume das regiões a seguir:
é a região limitada inferiormente pelo plano
, superiormente pelo plano
, e lateralmente pelo cilindro
.
Passo 1
Neste exercício a gente quer achar o volume da região Ω que fica embaixo do plano
, em cima do plano
e está limitada lateralmente pelo cilindro
. O conteúdo aqui é volume via integral tripla (ou dupla, projetando no plano
) e vamos precisar usar projeção do sólido no plano
e propriedades de simetria.
Passo 2
Primeiro, projetamos o sólido no plano
. A projeção é o disco
dado por
e para cada ponto
em
, a altura em
vai de
até
. Assim o volume é
Passo 3
Em seguida, usamos simetria para simplificar a integral: desmembramos
Como
é um disco centrado na origem, a integral de
sobre
é zero por simetria. Então
Passo 4
Basta agora calcular a área do disco
, que é
. Logo
Resposta
36\pi