Determine o volume das regiões a seguir:
Omega é a região limitada inferiormente pelo plano z=0, superiormente pelo plano x+z=4, e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

Neste exercício a gente quer achar o volume da região Ω que fica embaixo do plano x+z=4, em cima do plano z=0 e está limitada lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=9. O conteúdo aqui é volume via integral tripla (ou dupla, projetando no plano xy) e vamos precisar usar projeção do sólido no plano xy e propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, projetamos o sólido no plano xy. A projeção é o disco D dado por
D = (x,y): x^2+y^2 <= 9,
e para cada ponto (x,y) em D, a altura em z vai de z=0 até z=4-x. Assim o volume é
V = integral duplaD l(4 - xr),dA

Passo 3

Em seguida, usamos simetria para simplificar a integral: desmembramos
integral duplaD (4 - x),dA = 4integral duplaD dA - integral duplaD x,dA
Como D é um disco centrado na origem, a integral de x sobre D é zero por simetria. Então
V = 4integral duplaD dA

Passo 4

Basta agora calcular a área do disco D, que é pi cdot 3^2 = 9pi. Logo
V = 4 times 9pi = 36pi

Resposta

36\pi

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