Abaixo, obtenha uma aproximação com três casas decimais da soma de cada série.
sumn=1^infty(-1)^n 1n^n

Passo 1

O enunciado pede para aproximar com três casas decimais a soma da série sumn=1^infty(-1)^n1n^n. O conteúdo principal aqui é o critério de Leibniz (séries alternantes) e o uso do limite do termo geral para estimar o erro de truncamento.

Passo 2

Para usar o critério de Leibniz, notamos que o termo de módulo bn=1/n^n é positivo, decrescente e tende a zero quando ntoinfty. O teorema garante que a série converge e que o erro ao truncar na soma parcial SN satisfaz
|S-SN|<= bN+1=1(N+1)^N+1

Passo 3

Queremos um erro menor que 0,0005 (metade do último dígito que queremos garantir). Então buscamos o menor N tal que
1(N+1)^N+1<=0,0005
Testando valores: para N+1=5 temos 1/5^5=1/3125approx0,00032<0,0005. Logo, basta somar até N=4.

Passo 4

Agora calculamos a soma parcial de 4 termos:
S4=sumn=1^4(-1)^n1n^n=-1+12^2-13^3+14^4
Numericamente:
S4=-1+0,25-0,037037+0,00390625approx-0,7831308

Passo 5

Como o erro máximo é <=0,00032, podemos arredondar S para três casas decimais com segurança. Assim, a soma da série é aproximadamente -0,783.

Resposta

-0,783

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