Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=upi(t), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O problema é uma EDO de 2º ordem não-homogênea com forçamento dado pela função de passo unitário centrada em t=pi, ou seja upi(t)=H(t-pi). Precisamos resolver a equação em dois intervalos (antes e depois de t=pi) e impor as condições iniciais e de continuidade.

Passo 2

Para 0<= t, temos upi(t)=0, então a EDO vira
y''+y=0
A solução geral é yh(t)=Acos t+Bsin t. Aplicando y(0)=1 e y'(0)=0:
y(0)=A=1, y'(t)=-Asin t+Bcos timplies y'(0)=B=0
Logo, y(t)=cos t em [0,pi).

Passo 3

Para t>pi, temos upi(t)=1, então
y''+y=1
Buscamos uma solução particular constante yp=1. A solução geral fica
y(t)=Ccos t+Dsin t+1
Impondo continuidade de y e y' em t=pi:
y(pi^-)=cospi=-1, y'(pi^-)=-sinpi=0;
y(pi^+)=Ccospi+1= -C+1, y'(pi^+)=-Csinpi+Dcospi=-D
Igualando:
- C +1 = -1implies C=2, - D = 0implies D=0
Assim y(t)=2cos t+1 para t>pi.

Passo 4

Juntando as duas peças, podemos escrever a solução completa de forma única usando a representação em partes:

Resposta

y(t)= cos t, & 0<= tpi

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