Em cada um dos itens abaixo descreva as superfícies de nível associadas a f.
f(x, y, z)=x+2 y+3 z

Passo 1

O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função f: R^3to R dada por f(x,y,z)=x+2y+3z. O conteúdo principal é o de superfícies de nível, e para isso vamos precisar usar a definição de superfície de nível e o conceito de gradiente.

Passo 2

Por definição, a superfície de nível associada a um valor cin R é o conjunto
(x,y,z)in R^3:;f(x,y,z)=c
No nosso caso isso se traduz na equação
x+2y+3z=c

Passo 3

Para entender a forma geométrica destas superfícies, calculamos o gradiente de f, que é dado por
nabla f=(partialx f,partialy f,partialz f)=(1,2,3)
O gradiente é normal à superfície de nível em cada ponto, então cada superfície de nível é um plano ortogonal ao vetor (1,2,3).

Passo 4

Como a equação geral de um plano em R^3 é ax+by+cz=d, vemos que para cada constante c obtemos um plano paralelo a todos os outros (mesma orientação) e deslocado de acordo com o valor de c.

Resposta

As superfícies de nível de f são os planos paralelos dados por x+2y+3z=c, com cin R, todos ortogonais ao vetor (1,2,3).

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