Abaixo temos espaços vetoriais V e subconjuntos S subset V. Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando S não for subespaço, indique a propriedade que não é satisfeita.
V=R^2 e .

Passo 1

No enunciado temos o espaço vetorial V=R^2 e o subconjunto S=(x,y)inR^2;,x+y=0. O conteúdo é verificar se S é subespaço vetorial, checando as propriedades: presença do vetor zero, fechamento aditivo e fechamento por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero: o vetor zero em R^2 é (0,0). Como 0+0=0, temos (0,0)in S. Logo, S não está vazio e contém o vetor nulo.

Passo 3

Verificação do fechamento aditivo: sejam (x1,y1) e (x2,y2) em S. Então x1+y1=0 e x2+y2=0. A soma é (x1+x2)+(y1+y2)= (x1+y1)+(x2+y2)=0+0=0, logo (x1+x2,y1+y2)in S.

Passo 4

Verificação do fechamento por escalar: seja alphainR e (x,y)in S com x+y=0. Então alpha x+alpha y=alpha(x+y)=alphacdot 0=0, logo (alpha x,alpha y)in S.

Resposta

O conjunto S é subespaço vetorial de R^2.

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