Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os autovalores e autovetores da matriz
. Isso cai no conteúdo de autovalores e autovetores de matrizes 2×2. Vamos usar o polinômio característico para achar os autovalores e depois resolver
para cada
.
Passo 2
Primeiro, montamos o polinômio característico de
, que é dado por
. Substituindo, temos:
Calculando o determinante:
Expandindo,
Passo 3
Da equação
, fatoramos
, logo os autovalores são
Passo 4
Agora achamos os autovetores. Para
, resolvemos
:
Isso dá o sistema
, então podemos escolher
,
. Um autovetor associado é
Passo 5
Para
, resolvemos
:
Ou seja,
, que dá
. Podemos escolher
,
. Um autovetor associado é
Resposta
Os autovalores são
com autovetor
, e
com autovetor
.