Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
ll12 & 12 12 & 12

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os autovalores e autovetores da matriz A=1/2 & 1/21/2 & 1/2. Isso cai no conteúdo de autovalores e autovetores de matrizes 2×2. Vamos usar o polinômio característico para achar os autovalores e depois resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Primeiro, montamos o polinômio característico de A, que é dado por det(A-lambda I)=0. Substituindo, temos:
detgl(1/2-lambda & 1/21/2 & 1/2-lambdagr)=0
Calculando o determinante:
(1/2-lambda)^2 - (1/2)^2 = 0 implies (1/2-lambda)^2 - 1/4 = 0
Expandindo,
(1/4 - lambda + lambda^2) - 1/4 = lambda^2 - lambda = 0

Passo 3

Da equação lambda^2 - lambda = 0, fatoramos lambda(lambda-1)=0, logo os autovalores são
lambda1 = 0, lambda2 = 1

Passo 4

Agora achamos os autovetores. Para lambda1=0, resolvemos Av=0:
1/2 & 1/21/2 & 1/2 xy = 00
Isso dá o sistema x+y=0, então podemos escolher x=1, y=-1. Um autovetor associado é
v1 = 1-1

Passo 5

Para lambda2=1, resolvemos (A-I)v=0:
1/2-1 & 1/21/2 & 1/2-1 xy = 0
Ou seja, -1/2)x + (1/2)y = 0, que dá x=y. Podemos escolher x=1, y=1. Um autovetor associado é
v2 = 11

Resposta

Os autovalores são lambda1=0 com autovetor (1,-1)^T, e lambda2=1 com autovetor (1,1)^T.

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