Sejam alpha=((1,1),(-1,2)) e beta=((2,0),(1,1)). Escreva (1,3)alpha na base beta.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de ℝ², alpha=((1,1),(-1,2)) e beta=((2,0),(1,1)), e o vetor cujas coordenadas em alpha são (1,3). O conteúdo é mudança de base: para encontrar suas coordenadas em beta, primeiro vamos obter o vetor em coordenadas canônicas e depois projetar em beta.

Passo 2

Calcular o vetor v em coordenadas canônicas usando v=1cdot(1,1)+3cdot(-1,2). Os cálculos em bloco ficam:
v = 1,(1,1) + 3,(-1,2) = (1 - 3,;1 + 6) = (-2,;7)

Passo 3

Agora queremos (x,y) tais que
x,(2,0) + y,(1,1) = (-2,7)
Isso gera o sistema:
2x + y = -2, 0x + y = 7

Passo 4

Da segunda equação vem y=7. Substituindo na primeira:
2x + 7 = -2 Rightarrow x = -tfrac92

Resposta

(-tfrac92,;7)beta

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