Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
ll3 & 0 0 & 2

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A = 3 & 0 0 & 2. O conteúdo é teoria de valores e vetores próprios: vamos calcular o polinômio característico det(A - lambda I) = 0 e depois resolver cada sistema (A - lambda I)x = 0.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = detl(3-lambda & 0 0 & 2-lambdar) = (3 - lambda)(2 - lambda) = 0
Logo os dois autovalores são lambda1 = 3 e lambda2 = 2.

Passo 3

Para lambda1 = 3, resolvemos o sistema (A - 3I)x = 0. Temos
A - 3I = 3-3 & 0 0 & 2-3 = 0 & 0 0 & -1
Isso leva às equações:
0 cdot x1 + 0 cdot x2 = 0, -1 cdot x2 = 0
Da segunda equação vem x2 = 0, e x1 é livre. Escolhendo x1 = 1, um autovetor associado é v1 = (1, 0)^T.

Passo 4

Para lambda2 = 2, resolvemos (A - 2I)x = 0. Temos
A - 2I = 3-2 & 0 0 & 2-2 = 1 & 0 0 & 0
Isso dá as equações:
1 cdot x1 + 0 cdot x2 = 0, 0 = 0
Da primeira equação vem x1 = 0, e x2 é livre. Escolhendo x2 = 1, um autovetor é v2 = (0, 1)^T.

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 3 com autovetor v1 = (1,0)^T (até múltiplo escalar) e lambda2 = 2 com autovetor v2 = (0,1)^T (até múltiplo escalar).

Exercícios relacionados