Qual das bases abaixo é ortonormal positiva?
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede pra identificar qual das bases dadas em R^2 é ortonormal (ou seja, vetores de norma 1 e mutuamente ortogonais) e ainda tem orientação positiva (determinante da matriz formado pelos vetores > 0). Vamos usar conceitos de norma, produto escalar e determinante para decidir.
Passo 2
Primeiro testamos a normalização de cada par: para ser unitário, cada vetor v=(x,y) deve satisfazer
. Nas opções (a) e © os vetores têm norma
, logo não são ortonormais. Restam (b) e (d).
Passo 3
Em (b) temos os vetores
e
. Calculamos o produto escalar:
. Como já confirmamos as normas iguais a 1 e agora a ortogonalidade, a base é ortonormal.
Passo 4
Para ver a orientação, montamos a matriz cujas colunas são
e
e calculamos o determinante:
Passo 5
Logo a base (b) é ortonormal e tem orientação positiva. (Na opção (d) o determinante daria -1, indicando orientação negativa.)
Resposta
(b)