Qual das bases abaixo é ortonormal positiva?
(a) ((1,1),(-1,1))
(b) ((1,1),(1,-1))
©
(d)

Passo 1

O enunciado pede pra identificar qual das bases dadas em R^2 é ortonormal (ou seja, vetores de norma 1 e mutuamente ortogonais) e ainda tem orientação positiva (determinante da matriz formado pelos vetores > 0). Vamos usar conceitos de norma, produto escalar e determinante para decidir.

Passo 2

Primeiro testamos a normalização de cada par: para ser unitário, cada vetor v=(x,y) deve satisfazer |v|=raizx^2+y^2=1. Nas opções (a) e © os vetores têm norma raiz2, logo não são ortonormais. Restam (b) e (d).

Passo 3

Em (b) temos os vetores v1=(tfrac12,tfracraiz32) e v2=(-tfracraiz32,tfrac12). Calculamos o produto escalar: v1cdot v2=tfrac12(-tfracraiz32)+tfracraiz32(tfrac12)=0. Como já confirmamos as normas iguais a 1 e agora a ortogonalidade, a base é ortonormal.

Passo 4

Para ver a orientação, montamos a matriz cujas colunas são v1 e v2 e calculamos o determinante:
det tfrac12 & -tfracraiz32[6pt] tfracraiz32 & tfrac12 =tfrac12cdottfrac12-l(tfracraiz32r)(-tfracraiz32)=tfrac14+tfrac34=1>0

Passo 5

Logo a base (b) é ortonormal e tem orientação positiva. (Na opção (d) o determinante daria -1, indicando orientação negativa.)

Resposta

(b)

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