Abaixo temos espaços vetoriais
e subconjuntos
. Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando
não for subespaço, indique a propriedade que não é satisfeita.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
.
O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial: precisamos checar que
é não-vazio, e está fechado sob soma e multiplicação escalar.
O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial: precisamos checar que
Passo 2
Primeiro mostramos que o conjunto não é vazio, isto é, a matriz nula pertence a
. Denotando por
a matriz zero, temos
logo
. Isso garante que
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora verificamos o fechamento sob adição. Sejam
. Isso significa
e
Então
Portanto,
.
Passo 4
Em seguida, conferimos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, ou seja,
. Então
o que mostra que
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e está fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.