Abaixo temos espaços vetoriais V e subconjuntos S subset V. Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando S não for subespaço, indique a propriedade que não é satisfeita.
V=Mn times n(R) e .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=Ain Mntimes n( R):A+A^T=0
é um subespaço de
V=Mntimes n( R).
O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial: precisamos checar que
S é não-vazio, e está fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro mostramos que o conjunto não é vazio, isto é, a matriz nula pertence a S. Denotando por O a matriz zero, temos
O+O^T=O+O=O,
logo Oin S. Isso garante que S contém o vetor zero.

Passo 3

Agora verificamos o fechamento sob adição. Sejam A,Bin S. Isso significa
A+A^T=0
e
B+B^T=0
Então
(A+B)+(A+B)^T=A+B+A^T+B^T=(A+A^T)+(B+B^T)=0+0=0
Portanto, A+Bin S.

Passo 4

Em seguida, conferimos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphain R e Ain S, ou seja, A+A^T=0. Então
(alpha A)+(alpha A)^T=alpha A+alpha A^T=alpha(A+A^T)=alphacdot0=0,
o que mostra que alpha Ain S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero e está fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço de V.

Resposta

O conjunto S é um subespaço vetorial de V.

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