Dado triang<= A B C com A, B e C dado em coordenadas canônicas no plano, encontre uma forma de obter sua área. Usando isto, encontre a área do quadrilátero A B C D com A=(1,-1), B=(0,7), C=(2,3) e D=(4,0)

Passo 1

O enunciado pede primeiro a fórmula da área de um triângulo dado pelos seus vértices em coordenadas canônicas e depois usa isso para achar a área do quadrilátero ABCD com A=(1,−1), B=(0,7), C=(2,3) e D=(4,0). O conteúdo aqui é geometria analítica, mais precisamente o uso de determinantes (ou produto vetorial) para achar áreas.

Passo 2

Para um triângulo com vértices A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) e C=(x_C,y_C), podemos usar o fato de que a área é metade do valor absoluto do determinante formado pelas coordenadas (é equivalente ao módulo do produto vetorial de \x7f⃗AB e \x7f⃗AC). A fórmula fica:
Área(ABC)=12l|xA(yB-yC)+xB(yC-yA)+xC(yA-yB)r| Á

Passo 3

Para achar a área do quadrilátero ABCD, vamos dividí-lo em dois triângulos ABC e ACD, escolhendo a diagonal AC. A área do quadrilátero é a soma das áreas desses dois triângulos.

Passo 4

Calculando a área de ΔABC com A=(1,−1), B=(0,7) e C=(2,3):
Área(ABC)=12l|1(7-3)+0(3+1)+2(-1-7)r| =12|4+0-16|=12cdot12=6 Á

Passo 5

Calculando a área de ΔACD com A=(1,−1), C=(2,3) e D=(4,0):
Área(ACD)=12l|1(3-0)+2(0+1)+4(-1-3)r| =12|3+2-16|=12cdot11=5,5 Á

Passo 6

Somando as duas áreas, a área do quadrilátero ABCD é 6+5{,}5 = 11{,}5.
Convertendo para fração, 11{,}5 = tfrac232.

Resposta

A área do quadrilátero ABCD é tfrac232.

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