Abaixo temos espaços vetoriais
e subconjuntos
. Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando
não for subespaço, indique a propriedade que não é satisfeita.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = { f ∈ 𝓕(ℝ,ℝ) ; f(x) = f(−x) }
é um subespaço vetorial de V = 𝓕(ℝ,ℝ). Vamos usar a definição de subespaço: precisamos checar três propriedades — presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Para ver se o vetor zero está em S, note que a função zero é f₀(x) = 0 para todo x. Então
f₀(−x) = 0 = f₀(x)
logo f₀ ∈ S. Isso garante que S não é vazio e contém o zero.
Passo 3
Agora, tome f e g em S, ou seja, f(x)=f(−x) e g(x)=g(−x). Considere (f+g). Temos:
Portanto f+g também satisfaz a simetria e S é fechado sob soma.
Passo 4
Finalmente, pegue f ∈ S e um escalar α ∈ ℝ. Aplique α em f:
Assim αf mantém a propriedade f(−x)=f(x), mostrando fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como S contém o zero e é fechado tanto sob soma quanto sob multiplicação escalar, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de V.
Resposta
S é subespaço vetorial de V.