Abaixo temos espaços vetoriais V e subconjuntos S subset V. Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando S não for subespaço, indique a propriedade que não é satisfeita.
V=F(R, R) e S=f in F(R, R) ; f(x)=f(-x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = { f ∈ 𝓕(ℝ,ℝ) ; f(x) = f(−x) }
é um subespaço vetorial de V = 𝓕(ℝ,ℝ). Vamos usar a definição de subespaço: precisamos checar três propriedades — presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Para ver se o vetor zero está em S, note que a função zero é f₀(x) = 0 para todo x. Então
f₀(−x) = 0 = f₀(x)
logo f₀ ∈ S. Isso garante que S não é vazio e contém o zero.

Passo 3

Agora, tome f e g em S, ou seja, f(x)=f(−x) e g(x)=g(−x). Considere (f+g). Temos:
(f+g)(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x)
Portanto f+g também satisfaz a simetria e S é fechado sob soma.

Passo 4

Finalmente, pegue f ∈ S e um escalar α ∈ ℝ. Aplique α em f:
(αf)(−x) = α·f(−x) = α·f(x) = (αf)(x)
Assim αf mantém a propriedade f(−x)=f(x), mostrando fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como S contém o zero e é fechado tanto sob soma quanto sob multiplicação escalar, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de V.

Resposta

S é subespaço vetorial de V.

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