Sejam u=(-1,1,0) e v=(1,2,1). Encontre w coplanar a u, v tal que w seja ortogonal a u e(u, w, k) seja uma base positiva.

Passo 1

Vamos resumir: temos os vetores vec u=(-1,1,0) e vec v=(1,2,1). Precisamos achar vec w que seja combinação linear de vec u e vec v (ou seja, coplanar), ortogonal a vec u e tal que (vec u,vec w,vec k) seja uma base com orientação positiva.

Passo 2

Como vec w deve ser coplanar a vec u e vec v, escrevemos vec w = a,vec u + b,vec v. A ortogonalidade a vec u impõe vec ucdotvec w=0, ou seja,
vec ucdotvec w = vec ucdot(a,vec u + b,vec v)= a,vec ucdotvec u + b,vec ucdotvec v = 0

Passo 3

Vamos calcular os produtos:
vec ucdotvec u = (-1)^2+1^2+0^2 = 2,
vec ucdotvec v = (-1)cdot1 + 1cdot2 + 0cdot1 = 1

Passo 4

Substituindo em a(vec ucdotvec u)+b(vec ucdotvec v)=0
2a + b = 0 Longrightarrow b = -2a

Passo 5

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vec w = a,vec u + (-2a),vec v = al(vec u - 2,vec vr)

Passo 6

Para simplificar, escolhemos a=1. Assim obtemos
vec w = vec u - 2,vec v = (-1,1,0) -2(1,2,1) = (-3,-3,-2)

Passo 7

Agora verificamos a orientação: seja vec k=(0,0,1). Calculamos primeiro
vec w times vec k = (-3,-3,-2) times (0,0,1) = (-3,3,0)

Passo 8

O triplo escalar é
vec u cdot (vec w times vec k) = (-1,1,0) cdot (-3,3,0) = 6 >0,
o que garante que (vec u,vec w,vec k) tem orientação positiva.

Resposta

vec w = (-3,-3,-2)

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