Seja uma reta passando pelos pontos e . Obtenha a forma vetorial e implícita desta reta.
Passo 1
Temos a reta que passa pelos pontos e . Vamos usar o conteúdo de equações de retas em , obtendo a forma vetorial e a forma implícita como interseção de planos.
Passo 2
Calculamos o vetor diretor como . Com isso, a forma vetorial da reta é
r(t) = (1,2,-1) + t,(0,-3,1)
Escrevendo as equações paramétricas:
x = 1,
y = 2 - 3t,
z = -1 + t.
Da última equação tem-se t = z + 1. Substituindo em y:
y = 2 - 3(z+1) = -3z - 1.
Assim, a forma implícita surge como interseção de dois planos:
$$
x - 1 = 0,$$
$$
y + 3z + 1 = 0.$$
Resposta
A forma vetorial é r(t) = (1,2,-1) + t(0,-3,1). A forma implícita é dada pelo sistema de equações: