Em certo experimento, os seguintes pontos são medidos
x y
1 3,3
2 0,1
3 |c|c| hline x & y hline hline 1 & 3,3 hline 2 & 0,1 hline 3 & $-5,4$ hline
Usando o método de mínimos quadrados, determine o melhor ajuste para os parâmetros a e b da função f(x)=a-b x^2 que servirá de modelo para descrever esses dados.

Passo 1

O enunciado pede para ajustar a função f(x)=a−b x² aos dados por mínimos quadrados, ou seja, escolher a e b que minimizem ∑(yᵢ−(a−b xᵢ²))². Vamos usar as equações normais dessa regressão linear nos parâmetros a e b.

Passo 2

Escrevendo o resíduo rᵢ=yᵢ−(a−b xᵢ²), a condição de mínimo é ∂/∂a ∑rᵢ²=0 e ∂/∂b ∑rᵢ²=0. Isso gera as equações:
sum yᵢ - N a + b sum xᵢ² = 0²
sum xᵢ² yᵢ - a sum xᵢ² + b sum xᵢ⁴ = 0²²

Passo 3

Calculamos as somas sobre os três pontos (1,3.3), (2,0.1), (3,−5.4):
sum yᵢ = 3.3 + 0.1 - 5.4 = -2.0
sum xᵢ² = 1 + 4 + 9 = 14²
sum xᵢ⁴ = 1 + 16 + 81 = 98
sum xᵢ² yᵢ = 1·3.3 + 4·0.1 + 9·(-5.4) = -44.9²

Passo 4

Substituindo nas normais obtemos o sistema
-2 - 3a + 14b = 0 iff 3a - 14b = -2
-44.9 - 14a + 98b = 0 iff 14a - 98b = -44.9
Resolvendo: da segunda equação dividimos por 14: a - 7b = -3.20714.

Passo 5

Daí isolamos a = -3.20714 + 7b e substituímos em 3a - 14b = -2: 3(-3.20714+7b)-14b = -2 ⇒ 7b = 7.62143 ⇒ b ≈ 1.08878. Depois a = -3.20714 + 7·1.08878 ≈ 4.41429.

Resposta

a ≈ 4.4143, b ≈ 1.0888

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