Em certo experimento, os seguintes pontos são medidos
x
y
1
3,3
2
0,1
3
Usando o método de mínimos quadrados, determine o melhor ajuste para os parâmetros
e
da função
que servirá de modelo para descrever esses dados.
x | y |
1 | 3,3 |
2 | 0,1 |
3 |
|
Passo 1
O enunciado pede para ajustar a função f(x)=a−b x² aos dados por mínimos quadrados, ou seja, escolher a e b que minimizem ∑(yᵢ−(a−b xᵢ²))². Vamos usar as equações normais dessa regressão linear nos parâmetros a e b.
Passo 2
Escrevendo o resíduo rᵢ=yᵢ−(a−b xᵢ²), a condição de mínimo é ∂/∂a ∑rᵢ²=0 e ∂/∂b ∑rᵢ²=0. Isso gera as equações:
Passo 3
Calculamos as somas sobre os três pontos (1,3.3), (2,0.1), (3,−5.4):
Passo 4
Substituindo nas normais obtemos o sistema
Resolvendo: da segunda equação dividimos por 14: a - 7b = -3.20714.
Passo 5
Daí isolamos a = -3.20714 + 7b e substituímos em 3a - 14b = -2: 3(-3.20714+7b)-14b = -2 ⇒ 7b = 7.62143 ⇒ b ≈ 1.08878. Depois a = -3.20714 + 7·1.08878 ≈ 4.41429.
Resposta
a ≈ 4.4143, b ≈ 1.0888