O abastecimento de água de um edifício vem de um cano principal de 6.4 cm de diâmetro. Uma torneira de 3.2 cm de diâmetro, localizada 2 m acima do cano principal enche um recipiente de volume 31 L em 35 s . Suponha que a torneira seja o único vazamento no edifício.
Quando necessário considere a densidade da água como
, a aceleração gravitacional como
e a pressão atmosférica como 101 kPa .
Qual é a velocidade da água no cano principal, em
?
Quando necessário considere a densidade da água como
Qual é a velocidade da água no cano principal, em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem o abastecimento de água de um edifício que vem de um cano principal com diâmetro de 6,4 cm. Tem uma torneira com diâmetro de 3,2 cm, que está localizada 2 metros acima do cano principal e enche um recipiente de 31 litros em 35 segundos. A pergunta é: qual é a velocidade da água no cano principal?
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente usando as leis da continuidade e a equação de Bernoulli. Vamos precisar entender como calcular a velocidade do fluido com base nas informações fornecidas sobre o vazamento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a taxa de fluxo da água que está saindo pela torneira. A taxa de fluxo ($ Q $) pode ser calculada usando a fórmula:
Dado que o volume é de 31 litros e o tempo é de 35 segundos, precisamos converter o volume para metros cúbicos para manter as unidades consistentes no SI.
Sabemos que
, então:
Agora, calculamos $ Q $:
Passo 3
Agora, vamos usar a lei da continuidade, que nos diz que a taxa de fluxo deve ser constante em qualquer ponto do cano principal e na torneira (considerando que a torneira é o único vazamento). A lei da continuidade é expressa por:
Onde:
- $ A $ é a área da seção transversal
- $ v $ é a velocidade do fluido
- Os índices 1 e 2 representam dois pontos diferentes no sistema
Como queremos encontrar a velocidade no cano principal ($ v_1 $), e já temos a taxa de fluxo $ Q $, precisamos calcular a área do cano principal.
Passo 4
Vamos calcular a área da seção transversal do cano principal. O diâmetro do cano principal é 6,4 cm, então o raio ($ r $) é metade disso:
A área de um círculo é dada por:
Então,
Passo 5
Agora, usando a lei da continuidade:
Queremos encontrar $ v_1 $, então rearranjamos a equação:
Substituindo os valores que já temos:
Resposta
A velocidade da água no cano principal é aproximadamente 0,276 m/s.