O abastecimento de água de um edifício vem de um cano principal de 6.4 cm de diâmetro. Uma torneira de 3.2 cm de diâmetro, localizada 2 m acima do cano principal enche um recipiente de volume 31 L em 35 s . Suponha que a torneira seja o único vazamento no edifício.
Quando necessário considere a densidade da água como 1.0 times 10^wed>= 3 kg / m^wed>= 3, a aceleração gravitacional como 9.8 m / s^wed>= 2 e a pressão atmosférica como 101 kPa .
Qual é a velocidade da água no cano principal, em m / s ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem o abastecimento de água de um edifício que vem de um cano principal com diâmetro de 6,4 cm. Tem uma torneira com diâmetro de 3,2 cm, que está localizada 2 metros acima do cano principal e enche um recipiente de 31 litros em 35 segundos. A pergunta é: qual é a velocidade da água no cano principal?
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente usando as leis da continuidade e a equação de Bernoulli. Vamos precisar entender como calcular a velocidade do fluido com base nas informações fornecidas sobre o vazamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a taxa de fluxo da água que está saindo pela torneira. A taxa de fluxo ($ Q $) pode ser calculada usando a fórmula:
Q
Dado que o volume é de 31 litros e o tempo é de 35 segundos, precisamos converter o volume para metros cúbicos para manter as unidades consistentes no SI.
Sabemos que Q = VolumeTempo , então:
1 , litro = 0,001 , m^3
Agora, calculamos $ Q $:
31 , litros = 31 times 0,001 = 0,031 , m^3

Passo 3

Agora, vamos usar a lei da continuidade, que nos diz que a taxa de fluxo deve ser constante em qualquer ponto do cano principal e na torneira (considerando que a torneira é o único vazamento). A lei da continuidade é expressa por:
Q = A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • $ A $ é a área da seção transversal
  • $ v $ é a velocidade do fluido
  • Os índices 1 e 2 representam dois pontos diferentes no sistema
Como queremos encontrar a velocidade no cano principal ($ v_1 $), e já temos a taxa de fluxo $ Q $, precisamos calcular a área do cano principal.

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal do cano principal. O diâmetro do cano principal é 6,4 cm, então o raio ($ r $) é metade disso:
r
A área de um círculo é dada por:
r = 6,4 , cm2 = 3,2 , cm = 0,032 , m
Então,
A = pi r^2

Passo 5

Agora, usando a lei da continuidade:
Q = A1 v1
Queremos encontrar $ v_1 $, então rearranjamos a equação:
v1
Substituindo os valores que já temos:
v1 = QA1

Resposta

A velocidade da água no cano principal é aproximadamente 0,276  m/s.

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