Para uma casca condutora cilíndrica carregada, encontre uma expressão para o campo elétrico e o potencial dentro e fora da casca.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve encontrar o campo elétrico e o potencial elétrico tanto dentro quanto fora de uma casca condutora cilíndrica carregada. Isso está relacionado com a eletrostática, mais especificamente com a aplicação da Lei de Gauss e o conceito de potencial elétrico. Para resolver, a gente vai usar essas ferramentas básicas e entender como elas se aplicam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma casca condutora cilíndrica carregada tem carga distribuída apenas na superfície externa quando está em equilíbrio eletrostático. Isso acontece porque as cargas iguais se repelem e se distribuem da maneira mais uniforme possível.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. A gente escolhe uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com a casca condutora, pois isso facilita nossos cálculos devido à simetria do problema.
Passo 4
Vamos considerar dois casos separados: um dentro da casca (r < R) e outro fora da casca (r > R), onde R é o raio da casca.
Passo 5
Dentro da casca (r < R): Como as cargas estão distribuídas apenas na superfície externa, dentro da casca não há carga. Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico será zero, o que significa que o campo elétrico também será zero dentro da casca.
Matematicamente:
Passo 6
Fora da casca (r > R): Aqui, a carga total está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Onde:
- $ \Phi $ é o fluxo elétrico,
- $ E $ é o campo elétrico,
- $ r $ é a distância radial do eixo da casca,
- $ L $ é o comprimento do cilindro gaussiano,
- $ Q $ é a carga total da casca,
- $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Resolvendo para $ E $:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o potencial elétrico. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Vamos integrar o campo elétrico que encontramos para ambos os casos.
Passo 8
Dentro da casca (r < R): Como o campo elétrico é zero, o potencial dentro da casca será constante. Vamos chamar esse potencial de $ V_0 $.
Fora da casca (r > R): Integrando o campo elétrico que encontramos:
Para determinar $ V_0 $, consideramos que o potencial tende a zero quando $ r $ tende ao infinito:
Então:
Resposta
Dentro da casca condutora cilíndrica, o campo elétrico é zero e o potencial elétrico é constante. Fora da casca, o campo elétrico é dado por:
E o potencial elétrico é: