Para uma casca condutora cilíndrica carregada, encontre uma expressão para o campo elétrico e o potencial dentro e fora da casca.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve encontrar o campo elétrico e o potencial elétrico tanto dentro quanto fora de uma casca condutora cilíndrica carregada. Isso está relacionado com a eletrostática, mais especificamente com a aplicação da Lei de Gauss e o conceito de potencial elétrico. Para resolver, a gente vai usar essas ferramentas básicas e entender como elas se aplicam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma casca condutora cilíndrica carregada tem carga distribuída apenas na superfície externa quando está em equilíbrio eletrostático. Isso acontece porque as cargas iguais se repelem e se distribuem da maneira mais uniforme possível.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. A gente escolhe uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com a casca condutora, pois isso facilita nossos cálculos devido à simetria do problema.

Passo 4

Vamos considerar dois casos separados: um dentro da casca (r < R) e outro fora da casca (r > R), onde R é o raio da casca.

Passo 5

Dentro da casca (r < R): Como as cargas estão distribuídas apenas na superfície externa, dentro da casca não há carga. Aplicando a Lei de Gauss, o fluxo elétrico será zero, o que significa que o campo elétrico também será zero dentro da casca.
Matematicamente:
Edentro = 0

Passo 6

Fora da casca (r > R): Aqui, a carga total está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Phi = E cdot 2pi r L = Qvarepsilon0
Onde:
  • $ \Phi $ é o fluxo elétrico,
  • $ E $ é o campo elétrico,
  • $ r $ é a distância radial do eixo da casca,
  • $ L $ é o comprimento do cilindro gaussiano,
  • $ Q $ é a carga total da casca,
  • $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Resolvendo para $ E $:
Phi

Passo 7

Agora, vamos encontrar o potencial elétrico. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
V = -integral E , dr
Vamos integrar o campo elétrico que encontramos para ambos os casos.

Passo 8

Dentro da casca (r < R): Como o campo elétrico é zero, o potencial dentro da casca será constante. Vamos chamar esse potencial de $ V_0 $.
V0
Fora da casca (r > R): Integrando o campo elétrico que encontramos:
Vdentro = V0
Vfora = -integralR^r Q2pi varepsilon0 r' L , dr' + V0
Para determinar $ V_0 $, consideramos que o potencial tende a zero quando $ r $ tende ao infinito:
Vfora = -Q2pi varepsilon0 L ln(rR) + V0
Então:
V0

Resposta

Dentro da casca condutora cilíndrica, o campo elétrico é zero e o potencial elétrico é constante. Fora da casca, o campo elétrico é dado por:
Efora = Q2pi varepsilon0 r L
E o potencial elétrico é:
Vfora = -Q2pi varepsilon0 L ln(rR)

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