Suponha que a média estimada de um tipo de bactéria é igual a 27,6 por
. Para engenheiros químicos utilizarem determinado produto o nível de contaminação da lâmina deve ser intenso, com mais de 35 bactérias por
. Determine a probabilidade de que o produto seja usado, isto é, de que sejam encontradas mais de 35 bactérias por
nesta lâmina.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: a média estimada de bactérias por
é . - Informação: o produto será usado quando o nível de contaminação for “intenso”, isto é, quando houver mais de
bactérias por . - Pergunta: determinar a probabilidade de que o produto seja usado, ou seja, calcular
, onde é o número de bactérias por .
Passo 2
Escolha do modelo e justificativa (explicação didática):
Quando contamos quantos eventos ocorrem numa região fixa (aqui: bactérias numa lâmina de ), um modelo natural é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrerem
eventos num intervalo ou área quando esses eventos ocorrem com taxa média constante e independentemente uns dos outros. A distribuição de Poisson tem parâmetro
(a média esperada) e satisfaz:
Quando contamos quantos eventos ocorrem numa região fixa (aqui: bactérias numa lâmina de
Além disso, para Poisson vale que a média é
e a variância é
. No nosso caso, tomamos
.
Observação prática: calcular exatamente
requer somar muitas probabilidades ou usar computador. Como
é relativamente grande (acima de
), é comum aproximar a Poisson por uma Normal com média
e variância
. Vou usar essa aproximação normal com correção de continuidade para obter uma resposta que dá para calcular à mão ou com tabela de normal padrão.
Passo 3
Explicação da aproximação normal e correção de continuidade:
Se com
grande, então
Se
A correção de continuidade ajusta a passagem de variável discreta para contínua: para calcular
na aproximação normal usamos o ponto de corte
(ou seja,
corresponde a
na normal). Portanto vamos calcular
Calculemos os parâmetros da normal aproximante: média
e desvio-padrão
Vamos aproximar
. Sabemos que
, então
Passo 4
Cálculo do escore
(padronização):
Queremos
Queremos
onde
. Então
Expliquei passo a passo: subtrai-se a média (35,5 − 27,6 = 7,9) e divide-se pelo desvio-padrão (aprox. 5,254) para obter o
.
Passo 5
Usar a tabela da normal padrão para obter a probabilidade-que-cauda:
Na tabela da normal padrão encontramos e
. Interpolando para
(uma diferença de
entre
e
) temos aproximadamente
Na tabela da normal padrão encontramos
Portanto a probabilidade que buscamos é
Em porcentagem isso dá cerca de
.
Comentário prático: se você tivesse calculadora/PC, poderia calcular a soma exata da Poisson
; a aproximação normal com correção de continuidade costuma ficar bem próxima quando
é desse tamanho.