Suponha que a média estimada de um tipo de bactéria é igual a 27,6 por c m^{2}. Para engenheiros químicos utilizarem determinado produto o nível de contaminação da lâmina deve ser intenso, com mais de 35 bactérias por c m^{2}. Determine a probabilidade de que o produto seja usado, isto é, de que sejam encontradas mais de 35 bactérias por c m^{2} nesta lâmina.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: a média estimada de bactérias por cm^{2} é \mu=27{,}6.
  • Informação: o produto será usado quando o nível de contaminação for “intenso”, isto é, quando houver mais de 35 bactérias por cm^{2}.
  • Pergunta: determinar a probabilidade de que o produto seja usado, ou seja, calcular P(X>35), onde X é o número de bactérias por cm^{2}.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa (explicação didática):
Quando contamos quantos eventos ocorrem numa região fixa (aqui: bactérias numa lâmina de 1\;cm^{2}), um modelo natural é a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrerem k eventos num intervalo ou área quando esses eventos ocorrem com taxa média constante e independentemente uns dos outros. A distribuição de Poisson tem parâmetro \lambda (a média esperada) e satisfaz:
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\quad\text{para }k=0,1,2,\dots
Além disso, para Poisson vale que a média é \mathbb{E}[X]=\lambda e a variância é \mathrm{Var}(X)=\lambda. No nosso caso, tomamos \lambda=27{,}6.
Observação prática: calcular exatamente P(X>35)=1-\sum_{k=0}^{35}P(X=k) requer somar muitas probabilidades ou usar computador. Como \lambda=27{,}6 é relativamente grande (acima de 10), é comum aproximar a Poisson por uma Normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^{2}=\lambda. Vou usar essa aproximação normal com correção de continuidade para obter uma resposta que dá para calcular à mão ou com tabela de normal padrão.

Passo 3

Explicação da aproximação normal e correção de continuidade:
Se X\sim\text{Poisson}(\lambda) com \lambda grande, então
X \approx Y \quad\text{onde}\quad Y\sim N(\mu=\lambda,\;\sigma^{2}=\lambda).
A correção de continuidade ajusta a passagem de variável discreta para contínua: para calcular P(X>35) na aproximação normal usamos o ponto de corte 35{,}5 (ou seja, P(X\ge36) corresponde a P(Y>35{,}5) na normal). Portanto vamos calcular
P(X>35)\approx P\big(Y>35{,}5\big).
Calculemos os parâmetros da normal aproximante: média \mu=\lambda=27{,}6 e desvio-padrão
\sigma=\sqrt{\lambda}=\sqrt{27{,}6}.
Vamos aproximar \sqrt{27{,}6}. Sabemos que 5{,}25^{2}=27{,}5625, então
\sigma\approx 5{,}254\\ (\text{aproximando}).

Passo 4

Cálculo do escore z (padronização):
Queremos
P\big(Y>35{,}5\big)=P\!\left(Z>\frac{35{,}5-\mu}{\sigma}\right),
onde Z\sim N(0,1). Então
z=\frac{35{,}5-27{,}6}{5{,}254}=\frac{7{,}9}{5{,}254}\approx 1{,}503.
Expliquei passo a passo: subtrai-se a média (35,5 − 27,6 = 7,9) e divide-se pelo desvio-padrão (aprox. 5,254) para obter o z.

Passo 5

Usar a tabela da normal padrão para obter a probabilidade-que-cauda:
Na tabela da normal padrão encontramos \Phi(1{,}50)\approx 0{,}93319 e \Phi(1{,}51)\approx 0{,}93454. Interpolando para z=1{,}503 (uma diferença de 0{,}003 entre 1{,}50 e 1{,}51) temos aproximadamente
\Phi(1{,}503)\approx 0{,}9336.
Portanto a probabilidade que buscamos é
P(X>35)\approx 1-\Phi(1{,}503)\approx 1-0{,}9336=0{,}0664.
Em porcentagem isso dá cerca de 6{,}64\%.
Comentário prático: se você tivesse calculadora/PC, poderia calcular a soma exata da Poisson 1-\sum_{k=0}^{35} e^{-27{,}6}\dfrac{27{,}6^{k}}{k!}; a aproximação normal com correção de continuidade costuma ficar bem próxima quando \lambda é desse tamanho.

Resposta

P(X>35)\approx 0{,}0664 (aprox. 6{,}64\%)

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