Um estudo realizado por engenheiros civis em um município brasileiro analisou a distribuição espacial dapopulação e sua relação com o acesso a serviços básicos (esgoto tratado, água potável e coleta de lixo). O município tem 150 bairros, e em cada um deles, a probabilidade de que mais de 60 \% dos domicílios tenham acesso a todos os três serviços é de 0,75 . Para que o município seja considerado bem estruturado em políticas públicas de saneamento, é necessário que pelo menos 110 bairros atendam a essa condição (mais de 60 \% dos domicílios com acesso aos três serviços).
a) Qual a probabilidade de que exatamente 110 bairros deste município atinja esse critério?
b) Qual a probabilidade de que 110 a 112 bairros deste município atinjam esse critério?
c) Qual a probabilidade de que o município atinja esse critério e seja considerado bem estruturado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades indicadas.
  • Número de bairros: \;n=150.
  • Em cada bairro, a probabilidade de sucesso (mais de 60\% dos domicílios com os três serviços) é \;p=0,75.
  • O município é considerado bem estruturado se pelo menos 110 bairros atenderem ao critério.
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de que exatamente 110 bairros atinjam o critério?
b) Qual a probabilidade de que entre 110 e 112 bairros (inclusive) atinjam o critério?
c) Qual a probabilidade de que o município atinja o critério (ou seja, que pelo menos 110 bairros o atinjam)?

Passo 2

Modelagem e fórmula básica.
  • Seja X a variável aleatória que conta o número de bairros que atendem o critério. Cada bairro é uma tentativa independente com probabilidade de sucesso p. Portanto
X \sim \text{Binomial}(n,p) = \text{Binomial}(150,0,75).
  • A probabilidade exata de X=k é dada pela pmf binomial:
\mathbb{P}(X=k)=\binom{150}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{150-k},
onde \binom{150}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k bairros dentre 150), p^{k} é a probabilidade dos k sucessos e (1-p)^{150-k} a probabilidade dos 150-k fracassos.
Observação prática: calcular \binom{150}{k} e a potência exata na mão é muito trabalhoso. Para n grande e p que não é extremo, usamos a aproximação normal para a binomial (muito comum em provas), com correção de continuidade. Vou justificar e aplicar isso nos próximos passos.

Passo 3

Justificativa e parâmetros da aproximação normal.
  • Condição para a aproximação normal ser razoável: np e n(1-p) devem ser suficientemente grandes (regra prática: maiores que 5). Aqui
np = 150\cdot 0,75 = 112,5,\qquad n(1-p)=150\cdot 0,25=37,5,
ambos bem maiores que 5. Então a aproximação normal é adequada.
  • Para X\sim\text{Binomial}(n,p), a média e a variância são:
\mu = \mathbb{E}[X]=np,\qquad \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X)=np(1-p).
Substituindo:
\mu=112,5,\qquad \sigma^{2}=150\cdot 0,75\cdot 0,25=28,125.
O desvio-padrão é
\sigma=\sqrt{28,125}\approx 5,3033.
  • Aproximação: X será aproximada por Y\sim N(\mu,\sigma^{2})=N(112,5,\,28,125). Sempre que aproximamos uma probabilidade pontual binomial usamos correção de continuidade: P(X=k)\approx P(k-0,5<Y<k+0,5).

Passo 4

(Resolução da letra a) Probabilidade de exatamente 110 bairros.
  • Fórmula exata (teórica, mas pouco prática manualmente):
\mathbb{P}(X=110)=\binom{150}{110}\,0,75^{110}\,0,25^{40}.
  • Usando aproximação normal com correção de continuidade:
\mathbb{P}(X=110)\approx \mathbb{P}(109,5<Y<110,5).
Passamos para Z padronizado ( Z=(Y-\mu)/\sigma):
z_{\text{inf}}=\frac{109,5-112,5}{\sigma}=\frac{-3}{5,3033}\approx -0,5656,
z_{\text{sup}}=\frac{110,5-112,5}{\sigma}=\frac{-2}{5,3033}\approx -0,3771.
Então
\mathbb{P}(109,5<Y<110,5)=\Phi(z_{\text{sup}})-\Phi(z_{\text{inf}}),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
  • Como \Phi(-a)=1-\Phi(a), podemos reescrever:
\Phi(-0,3771)-\Phi(-0,5656) = (1-\Phi(0,3771)) - (1-\Phi(0,5656)) = \Phi(0,5656)-\Phi(0,3771).
  • Usando tabela da normal padrão (interpolando valores):
\Phi(0,5656)\approx 0,7142,\qquad \Phi(0,3771)\approx 0,6469.
Portanto
\mathbb{P}(X=110)\approx 0,7142-0,6469=0,0673.

Passo 5

(Resolução da letra b) Probabilidade de entre 110 e 112 bairros inclusive.
  • Em notação:
\mathbb{P}(110\le X\le 112)=\mathbb{P}(X\in\{110,111,112\}).
  • Pela aproximação normal com correção de continuidade, isso corresponde a
\mathbb{P}(109,5<Y<112,5).
Padronizando:
z_{\text{inf}}=\frac{109,5-112,5}{\sigma}\approx -0,5656,\qquad z_{\text{sup}}=\frac{112,5-112,5}{\sigma}=0.
Então
\mathbb{P}(109,5<Y<112,5)=\Phi(0)-\Phi(-0,5656)=0,5 - (1-\Phi(0,5656))=\Phi(0,5656)-0,5.
Usando \Phi(0,5656)\approx 0,7142,
\mathbb{P}(110\le X\le 112)\approx 0,7142-0,5=0,2142.

Passo 6

(Resolução da letra c) Probabilidade de o município ser considerado bem estruturado (pelo menos 110 bairros).
  • Queremos
\mathbb{P}(X\ge 110).
Pela aproximação normal com correção de continuidade:
\mathbb{P}(X\ge 110)\approx \mathbb{P}(Y\ge 109,5).
Padronizando:
z=\frac{109,5-112,5}{\sigma}\approx -0,5656.
Logo
\mathbb{P}(Y\ge 109,5)=1-\Phi(z)=1-\Phi(-0,5656)=\Phi(0,5656).
Usando o valor já usado acima,
\mathbb{P}(X\ge 110)\approx \Phi(0,5656)\approx 0,7142.
  • Observação final: se quiser o valor exato (sem aproximação) use uma calculadora ou software que calcule somas de probabilidades binomiais; aqui apresentei a aproximação normal, que é o método prático em provas quando n é grande.

Resposta

\mathbb{P}(X=110)\approx 0,0673
\mathbb{P}(110\le X\le 112)\approx 0,2142
\mathbb{P}(X\ge 110)\approx 0,7142

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