Um estudo realizado por engenheiros civis em um município brasileiro analisou a distribuição espacial dapopulação e sua relação com o acesso a serviços básicos (esgoto tratado, água potável e coleta de lixo). O município tem 150 bairros, e em cada um deles, a probabilidade de que mais de
dos domicílios tenham acesso a todos os três serviços é de 0,75 . Para que o município seja considerado bem estruturado em políticas públicas de saneamento, é necessário que pelo menos 110 bairros atendam a essa condição (mais de
dos domicílios com acesso aos três serviços).
a) Qual a probabilidade de que exatamente 110 bairros deste município atinja esse critério?
b) Qual a probabilidade de que 110 a 112 bairros deste município atinjam esse critério?
c) Qual a probabilidade de que o município atinja esse critério e seja considerado bem estruturado?
a) Qual a probabilidade de que exatamente 110 bairros deste município atinja esse critério?
b) Qual a probabilidade de que 110 a 112 bairros deste município atinjam esse critério?
c) Qual a probabilidade de que o município atinja esse critério e seja considerado bem estruturado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as probabilidades indicadas.
- Número de bairros:
. - Em cada bairro, a probabilidade de sucesso (mais de
dos domicílios com os três serviços) é . - O município é considerado bem estruturado se pelo menos
bairros atenderem ao critério.
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de que exatamente bairros atinjam o critério?
b) Qual a probabilidade de que entre e
bairros (inclusive) atinjam o critério?
c) Qual a probabilidade de que o município atinja o critério (ou seja, que pelo menos bairros o atinjam)?
a) Qual a probabilidade de que exatamente
b) Qual a probabilidade de que entre
c) Qual a probabilidade de que o município atinja o critério (ou seja, que pelo menos
Passo 2
Modelagem e fórmula básica.
- Seja
a variável aleatória que conta o número de bairros que atendem o critério. Cada bairro é uma tentativa independente com probabilidade de sucesso . Portanto
- A probabilidade exata de
é dada pela pmf binomial:
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
bairros dentre 150),
é a probabilidade dos
sucessos e
a probabilidade dos
fracassos.
Observação prática: calcular
e a potência exata na mão é muito trabalhoso. Para
grande e
que não é extremo, usamos a aproximação normal para a binomial (muito comum em provas), com correção de continuidade. Vou justificar e aplicar isso nos próximos passos.
Passo 3
Justificativa e parâmetros da aproximação normal.
- Condição para a aproximação normal ser razoável:
e devem ser suficientemente grandes (regra prática: maiores que 5). Aqui
ambos bem maiores que
. Então a aproximação normal é adequada.
- Para
, a média e a variância são:
Substituindo:
O desvio-padrão é
- Aproximação:
será aproximada por . Sempre que aproximamos uma probabilidade pontual binomial usamos correção de continuidade: .
Passo 4
(Resolução da letra a) Probabilidade de exatamente
bairros.
- Fórmula exata (teórica, mas pouco prática manualmente):
- Usando aproximação normal com correção de continuidade:
Passamos para
padronizado (
):
Então
onde
é a função de distribuição da normal padrão.
- Como
, podemos reescrever:
- Usando tabela da normal padrão (interpolando valores):
Portanto
Passo 5
(Resolução da letra b) Probabilidade de entre
e
bairros inclusive.
- Em notação:
- Pela aproximação normal com correção de continuidade, isso corresponde a
Padronizando:
Então
Usando
,
Passo 6
(Resolução da letra c) Probabilidade de o município ser considerado bem estruturado (pelo menos
bairros).
- Queremos
Pela aproximação normal com correção de continuidade:
Padronizando:
Logo
Usando o valor já usado acima,
- Observação final: se quiser o valor exato (sem aproximação) use uma calculadora ou software que calcule somas de probabilidades binomiais; aqui apresentei a aproximação normal, que é o método prático em provas quando
é grande.